Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

Template:Fondamenti di automatica2 Un sistema dinamico LTI a tempo discreto con ingressi nulli ha equazione di stato:

$x(k+1)=Ax(k)\Rightarrow x\left(k\right)=x_{\ell }(k)=A^{k}x\left(0\right)=\underset{A^k}{\underbrace{T{\tilde{A}}^k{T}^{-1}}}x\left(0\right)$

Autovalori semplici

Autovalori reali semplici

I blocchi di ${\tilde{A}}^k$ corrispondenti a $n$ autovalori reali distinti ${\lambda }_i$ hanno forma diagonale:

$\left[\begin{array}{ccccc}{{\lambda }_1}^k& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& {{\lambda }_2}^k& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & {{\lambda }_{n-1}}^k& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& {{\lambda }_n}^k\end{array}\right]$

e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo ${{\lambda }_i}^k$, che possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|{\lambda }_i\right|<1$ (es. ${0,5}^k$, ${(-0,5)}^k$);
• limitati se $\left|{\lambda }_i\right|=1$ (es. $1^k=1$, ${(-1)}^k$);
• geometricamente divergenti se $\left|{\lambda }_i\right|>1$ (es. $2^k$, ${(-2)}^k$).

Autovalori complessi semplici

I blocchi di ${\tilde{A}}^k$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo $\lambda =\upsilon e^{\pm j\theta }$ hanno la forma:

${\upsilon }^k\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta k\right)& \sin \left(\theta k\right)\\ -\sin \left(\theta k\right)& \cos \left(\theta k\right)\end{array}\right]$

e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo ${\upsilon }^k\cos \left(\theta k\right)$ e ${\upsilon }^k\sin \left(\theta t\right)$, che possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon <1$ (es. ${0,5}^k\sin k$);
• limitati (oscillanti) se $\left|\lambda \right|=\upsilon =1\wedge \arg \left(\lambda \right)=\theta \ne 0$ (es. $\sin k$);
• geometricamente divergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon >1$ (es. ${1,5}^k\sin k$).

Autovalori multipli

Autovalori reali multipli

I blocchi di ${\tilde{A}}^k$ corrispondenti a un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici del tipo:

$\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }^k& k{\lambda }^k& \cdots & \frac{k(k-1)\cdots (k-{\mu }^{\prime }-2)}{({\mu }^{\prime }-1)!}{\lambda }^{k-{\mu }^{\prime }-1}\\ 0& {\lambda }^k& \cdots & \frac{k(k-1)\cdots (k-{\mu }^{\prime }-3)}{({\mu }^{\prime }-2)!}{\lambda }^{k-{\mu }^{\prime }-2}\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& e^{\lambda k}\end{array}\right]$

e danno origine a modi naturali contenenti ${\mu }^{\prime }\le \mu$ termini del tipo $k^j{\lambda }^k$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,0$).

Se ${\mu }^{\prime }>1$, i modi naturali contenenti ${\mu }^{\prime }$ termini del tipo $k^j{\lambda }^k$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,1$) possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda \right|<1$ (es. $k\cdot {0,5}^k$, $k\cdot {(-0,5)}^k$);
• polinomialmente divergenti se $\left|\lambda \right|=1$ (es. $1^k=k$);
• geometricamente divergenti se $\lambda >1$ (es. $k\cdot {1,5}^k$, $k\cdot {(-1,5)}^k$).

Autovalori complessi multipli

I blocchi di ${\tilde{A}}^k$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi $\lambda =\upsilon e^{\pm j\theta }$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ danno origine a modi naturali oscillanti contenenti ${\mu }^{\prime }\le \mu$ termini del tipo $k^j{\upsilon }^k\cos \left(\theta k\right)$ e $k^j{\upsilon }^k\sin \left(\theta k\right)$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,0$).

Se ${\mu }^{\prime }>1$, i modi naturali del tipo $k^j{\upsilon }^k\cos \left(\theta k\right)$ e $k^j{\upsilon }^k\sin \left(\theta k\right)$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,1$) possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon <1$ (es. $k{0,5}^k\sin k$);
• polinomialmente divergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon =1$ (es. $k\sin k$);
• geometricamente divergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon >1$ (es. $k{1,5}^k\sin k$).