Fondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici

Nozione di sistema

Rappresentazione grafica di un sistema con ingresso $u(\bullet )$ e uscita $y(\bullet )$

Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall'interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione: l'uscita $y$ è la variabile d'interesse del sistema ed è l'effetto (reazione) dell'ingresso $u$, cioè la causa (azione) che mette in funzione il sistema stesso.

Il comportamento di un sistema è descrivibile tramite un modello matematico, cioè un insieme $S$ di relazioni matematiche che legano tra loro l'ingresso $u$ e l'uscita $y$.

Problematiche d'interesse nello studio di sistemi

• previsione: noti $S$, $u(\bullet )$ → trovare $y(\bullet )$;
• controllo: noti $S$, $y(\bullet )$ → trovare $u(\bullet )$;
• identificazione: noti $y(\bullet )$, $u(\bullet )$ → trovare $S$.

Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici

Sistemi statici

Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo, cioè il valore dell'uscita $y$ all'istante $t$ dipende solo dal valore dell'ingresso $u$ allo stesso istante $t$:

$y\left(t\right)=g\left(u\left(t\right)\right)\mathrm{\forall }t$

Esempio: resistore ideale

$u\left(t\right)=i_R\left(t\right)\Rightarrow y\left(t\right)=v_R\left(t\right)=R{i}_R\left(t\right)\mathrm{\forall }t$

Sistemi dinamici

Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico, cioè il valore dell'uscita $y$ all'istante $t$ dipende da tutti i valori dell'ingresso $u$ fino all'istante $t$:

$y\left(t\right)=g\left(u\left([-\mathrm{\infty },t]\right)\right)\mathrm{\forall }t$

Esempio: condensatore ideale

$u\left(t\right)=i_C\left(t\right)=C{\dot{v}}_C\left(t\right)\Rightarrow y\left(t\right)=v_C\left(t\right)=\frac{1}{C}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{i}_C\left(\sigma \right)d\sigma =\frac{1}{C}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}u\left(\sigma \right)d\sigma \mathrm{\forall }t$

Rappresentazione grafica di un sistema dinamico con stato $x(\bullet )$

Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all'istante $\tau$, si può introdurre lo stato $x\left(\tau \right)$ che racchiude in sé tutta la memoria del passato:

$y\left(t\right)=g(x\left(\tau \right),u\left([\tau ,t]\right))\mathrm{\forall }t\ge \tau$

Esempio: condensatore ideale avente $v_C(-\mathrm{\infty })=0$

$\{\begin{array}{c}u\left(t\right)=i_C\left(t\right)=C\frac{d{v}_C\left(t\right)}{dt}\\ x\left(\tau \right)=\frac{1}{C}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\tau }{\int }}{i}_C\left(\sigma \right)d\sigma =v_C\left(\tau \right)\end{array}\Rightarrow y\left(t\right)=v_C\left(t\right)=\frac{1}{C}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}{i}_C\left(\sigma \right)d\sigma =\underset{x\left(\tau \right)}{\underbrace{\frac{1}{C}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\tau }{\int }}{i}_C\left(\sigma \right)d\sigma }}+\frac{1}{C}\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}{i}_C\left(\sigma \right)d\sigma =x\left(\tau \right)+\frac{1}{C}\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}u\left(\sigma \right)d\sigma$

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Un sistema dinamico a dimensione finita può essere descritto da un sistema formato da:

• equazione di stato: descrive l'evoluzione temporale dello stato $x$;
• equazione di uscita: descrive l'evoluzione temporale dell'uscita $y$.

Definizione di sistema dinamico

Definizione assiomatica

Il sistema dinamico $S$:

$S(T,U,\mathrm{\Omega },X,Y,\mathrm{\Gamma },\phi ,\eta )$

è un ente definito dai seguenti insiemi:

• $T$: insieme ordinato dei tempi (continuo o discreto);
• $U$: insieme dei valori assunti dall'ingresso $u$;
• $\mathrm{\Omega }$: insieme dei tipi di funzioni d'ingresso $\{u(\bullet ):T⟶U\}$;
• $X$: insieme dei valori assunti dallo stato $x$;
• $Y$: insieme dei valori assunti dall'uscita $y$;
• $\mathrm{\Gamma }$: insieme dei tipi di funzioni d'uscita $\{y(\bullet ):T⟶Y\}$;

per cui sono definite le funzioni $\phi$ e $\eta$ che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita).

Funzione di transizione dello stato $\phi$

La funzione di transizione dello stato $\phi$ descrive il movimento dello stato, cioè determina lo stato finale $x\left(t\right)$ dato lo stato iniziale $x\left(\tau \right)$ (in un altro istante di tempo):

$x\left(t\right)=\phi (t,\tau ,x\left(\tau \right),u(\bullet ))$

Funzione di uscita $\eta$

La funzione di uscita $\eta$ è una funzione istantanea dello stato $x$ e dell'eventuale ingresso $u$ che descrive il movimento dell'uscita, o risposta, cioè determina l'uscita $y\left(t\right)$ partendo dallo stato corrente $x\left(t\right)$ (nello stesso istante di tempo):

$y\left(t\right)=\eta (t,x\left(t\right),u\left(t\right))$

Se l'uscita $y$ non dipende istantaneamente dall'ingresso $u$, il sistema è proprio o fisicamente realizzabile:

$y\left(t\right)=\eta (t,x\left(t\right))$

Criteri di classificazione dei sistemi dinamici

Insiemi $T$, $U$, $Y$, $X$

Insieme ordinato dei tempi $T$

Un sistema dinamico può essere a tempo continuo (es. natura) o a tempo discreto (es. sistema digitale):

• $T\subseteq ℝ$ ⇒ sistema dinamico a tempo continuo (si usa la variabile $t$);
• $T\subseteq \mathbb{Z}$ ⇒ sistema dinamico a tempo discreto (si usa la variabile $k$).

Vi sono due tipi di equazione di stato $\dot{x}$:

• sistema a tempo continuo ⇒ l'equazione di stato è un sistema di $n$ equazioni differenziali:

  $\dot{x}\left(t\right)=f(t,x\left(t\right),u\left(t\right))$

• sistema a tempo discreto ⇒ l'equazione di stato è un sistema di $n$ equazioni alle differenze finite:

  $x(k+1)=f(k,x\left(k\right),u\left(k\right))$

Insiemi dei valori di ingresso $U$ e di uscita $Y$

Esempi

"quantizzato"	$y\left(k\right)=x\left(k\right)+u\left(k\right)$
SISO	$y\left(t\right)=x\left(t\right)+u\left(t\right)$
MIMO	$y\left(t\right)=x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)+u_1\left(t\right)+u_2\left(t\right)$

In un sistema dinamico gli ingressi $u$ e le uscite $y$ possono essere discreti o continui:

• $U\subseteq \mathbb{Z}$, $Y\subseteq \mathbb{Z}$ ⇒ sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate;
• $U\subseteq {ℝ}^p$, $Y\subseteq {ℝ}^q$: si differenziano in base al numero di ingresso e al numero di uscite:
  • $p=q=1$ ⇒ sistema monovariabile o Template:Tooltip (un solo ingresso $u$ e una sola uscita $y$);
  • $p>1$ e/o $q>1$ ⇒ sistema multivariabile o Template:Tooltip.

Insieme dei valori dello stato $X$

• $X\subseteq \mathbb{Z}$ ⇒ sistema dinamico a stati finiti (macchina a stati finiti);
• $X\subseteq {ℝ}^n$ con $n$ finito ⇒ sistema a parametri concentrati (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate ordinarie);
• $X\subseteq {ℝ}^n$ con $n$ infinito ⇒ sistema a parametri distribuiti (nel caso a tempo continuo: equazioni differenziali alle derivate parziali).

Funzioni $\phi$ e $\eta$

Proprietà di linearità

Esempi

lineare	$y\left(t\right)=x\left(t\right)$
non lineare	$y\left(t\right)=x^2\left(t\right)$

Il sistema dinamico è lineare se:

• $U$, $\mathrm{\Omega }$, $X$, $Y$, $\mathrm{\Gamma }$ sono spazi vettoriali;
• la funzione di transizione dello stato $\phi$ è lineare in $x$ e in $u$, cioè è scomponibile nella combinazione lineare dell'evoluzione libera $x_{\ell }\left(t\right)$ e dell'evoluzione forzata $x_f\left(t\right)$ del sistema:

  $x\left(t\right)=\phi (t,\tau ,x\left(\tau \right),u(\bullet ))={\phi }_{\ell }(t,\tau )x\left(\tau \right)+{\phi }_f(t,\tau )u(\bullet )=x_{\ell }\left(t\right)+x_f\left(t\right)$

• la funzione di uscita $\eta$ è lineare in $x$ e in $u$, cioè è scomponibile nella combinazione lineare di $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$ con coefficienti matriciali $C\left(t\right)$ e $D\left(t\right)$:

  $y\left(t\right)=\eta (t,x\left(t\right),u\left(t\right))=C\left(t\right)x\left(t\right)+D\left(t\right)u\left(t\right)$

Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo)

Esempi

tempo-variante	$y\left(t\right)=tx\left(t\right)$
tempo-invariante	$y\left(t\right)=x\left(t\right)$

Il sistema dinamico è stazionario (o tempo-invariante) se:

• la funzione di transizione dello stato $\phi$ non dipende esplicitamente dal tempo, cioè a parità di intervallo di tempo $\mathrm{\Delta }\tau$ è costante indipendentemente dall'istante iniziale scelto:

  $\phi (t,\tau ,x^{*},u(\bullet ))=\phi (t+\mathrm{\Delta }\tau ,\tau +\mathrm{\Delta }\tau ,x^{*},u^{\mathrm{\Delta }\tau }(\bullet ))$

• la funzione di uscita $\eta$ non dipende esplicitamente dal tempo.

Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita

	Equazione di stato	Equazione di uscita
tempo continuo	$n$ equazioni differenziali ordinarie del I ordine: $\dot{x}\left(t\right)=f(t,x\left(t\right),u\left(t\right))$	$y\left(t\right)=g(t,x\left(t\right),u\left(t\right))$
Template:TA	$n$ equazioni differenziali lineari in $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$: $\dot{x}\left(t\right)=A\left(t\right)x\left(t\right)+B\left(t\right)u\left(t\right)$ $A\left(t\right)\in {ℝ}^{n\times n}$ matrice di stato $B\left(t\right)\in {ℝ}^{n\times p}$ matrice degli ingressi	$y\left(t\right)=C\left(t\right)x\left(t\right)+D\left(t\right)u\left(t\right)$ $C\left(t\right)\in {ℝ}^{q\times n}$ matrice delle uscite $D\left(t\right)\in {ℝ}^{q\times p}$ matrice del legame diretto ingresso-uscita
Template:TA (LTI)	$n$ equazioni differenziali lineari in $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$ a coefficienti costanti: $\dot{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right)$	$q$ equazioni lineari in $x\left(t\right)$ e $u\left(t\right)$ a coefficienti costanti: $y\left(t\right)=Cx\left(t\right)+Du\left(t\right)$
tempo discreto	$n$ equazioni alle differenze finite: $x(k+1)=f(k,x\left(k\right),u\left(k\right))$	$y\left(k\right)=g(k,x\left(k\right),u\left(k\right))$
Template:TA	$n$ equazioni alle differenze finite lineari in $x\left(k\right)$ e $u\left(k\right)$: $x(k+1)=A\left(k\right)x\left(k\right)+B\left(k\right)u\left(k\right)$	$y\left(k\right)=C\left(k\right)x\left(k\right)+D\left(k\right)u\left(k\right)$
Template:TA (LTI)	$n$ equazioni alle differenze finite lineari in $x\left(k\right)$ e $u\left(k\right)$ a coefficienti costanti: $x(k+1)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)$	$q$ equazioni lineari in $x\left(k\right)$ e $u\left(k\right)$ a coefficienti costanti: $y\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Du\left(k\right)$