Fondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto

Template:Fondamenti di automatica2 I sistemi dinamici a tempo discreto sono descritti dalle seguenti equazioni di stato (equazione alle differenze) e di uscita:

$\{\begin{array}{c}{x}_i(k+1)=f_i(k,x(k),u(k))\\ y_l(k)=g_l(k,x(k),u(k))\end{array}$

Sistemi dinamici a classi di età

I modelli a classi di età permettono di sapere il numero degli elementi di una certa classe $i$-esima nell'istante temporale $k$. L'evoluzione di ogni classe dall'istante $k$ all'istante $k+1$ è descritta tenendo conto del tasso di mortalità $\gamma$ e del tasso di sopravvivenza $1-\gamma$ degli elementi della classe.

Lo stato $x_i(k)$ è il numero di elementi della classe $i$-esima, l'ingresso $u(k)$ rappresenta l'ingresso di nuovi elementi in una classe.

Equazioni di stato e di uscita

$\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\\ y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{array}$

Sistemi dinamici a dati campionati

• 
  Sistema di controllo a tempo continuo
• 
  Sistema di controllo a tempo discreto

Discretizzazione

Il processo di discretizzazione avviene attraverso un campionatore con passo di campionamento $T_s$:

$\{\begin{array}{c}x(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x(k+1)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)\\ y(k)=C_{d}x(k)+D_{d}u(k)\end{array}$

dove le matrici $A_d$ e $B_d$ sono ricavabili dalla formula di Lagrange:

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x\left(t_0\right)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-t_0-\tau )}Bu\left(\tau \right)d\tau \Rightarrow x(k+1)=\underset{A_d}{\underbrace{e^{A{T}_s}}}x\left(k\right)+\underset{B_d}{\underbrace{\left(\underset{0}{\overset{T_s}{\int }}{e}^{A(T_s-\tau )}d\tau \right)}}Bu(k)$