Fondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità

Template:Fondamenti di automatica2 Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso $u(\bullet )$ possono modificare lo stato del sistema:

• raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso $u(\bullet )$?
• controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso $u(\bullet )$?

Raggiungibilità

Uno stato $x^{*}$ si dice raggiungibile a partire dallo stato zero $x_0=x\left(t_0\right)$ se esistono:

• un istante di tempo $t^{*}\in [t_0,+\mathrm{\infty })$;
• una funzione di ingresso $u^{*}\left(t\right)$ definita in $t\in [t_0,t^{*}]$;

tali che il movimento dello stato $x\left(t\right)$ raggiunga al tempo $t^{*}$ lo stato finale $x^{*}$:

$x\left(t^{*}\right)=x^{*}$

In un sistema LTI con dimensione finita $n$, lo spazio di stato $X$ si divide in due parti:

• parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità $X_R$ di dimensione $r<n$, a cui sono associati $r$ autovalori della matrice $A$;
• parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità $X_{NR}$ di dimensione $n-r$, a cui sono associati $n-r$ autovalori della matrice $A$.

L'insieme di raggiungibilità $X_R\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati finali $x^{*}$ raggiungibili al tempo $t^{*}$ a partire dallo stato zero $x_0$ considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

$X_R\left(t^{*}\right)=\{x^{*}:x^{*}\text{ raggiungibile dallo stato zero }{x}_0\text{ al tempo }{t}^{*}\}$

L'insieme di raggiungibilità $X_R\left(t^{*}\right)$ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato $X$.

Il sottospazio di raggiungibilità $X_R$ è il più grande insieme di raggiungibilità $X_R\left(t\right)$:

$X_R=\underset{t\in [t_0,+\mathrm{\infty })}{\max }{X}_R\left(t\right)$

La dimensione $r$ del sottospazio di raggiungibilità $X_R$ è pari al rango della matrice di raggiungibilità $M_R$:

$r=\rho \left(M_R\right)$

La matrice di raggiungibilità $M_R$ rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in $t\in [t_0,t^{*}]$ e tutti i possibili stati finali $x^{*}$:

$M_R=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-b}B\end{array}\right]$

dove $b$ è il rango della matrice $B$ (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):

$b=\rho \left(B\right)$

Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità $X_{NR}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità $X_R$:

$X_{NR}=X_R^{\mathrm{\perp }}:\{\begin{array}{c}{X}_{NR}\cap X_R=\varnothing \\ X_{NR}\cup X_R=X\end{array}$

L'ingresso $u(\bullet )$ agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso $u(\bullet )$ per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità $X_R$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

$X_R=X\iff r=\rho \left(M_R\right)=n$

Controllabilità

Uno stato $x^{*}=x\left(t_0\right)$ si dice controllabile allo stato zero $x_0$ se esistono:

• un istante di tempo $t^{*}\in [t_0,+\mathrm{\infty })$;
• una funzione di ingresso $u^{*}\left(t\right)$ definita in $t\in [t_0,t^{*}]$;

tali che il movimento dello stato $x\left(t\right)$ raggiunga al tempo $t^{*}$ lo stato zero $x_0$:

$x\left(t^{*}\right)=x_0$

L'insieme di controllabilità $X_C\left(t^{*}\right)$ è l'insieme di tutti gli stati finali $x^{*}$ controllabili al tempo $t^{*}$ allo stato zero $x_0$ considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

$X_C\left(t^{*}\right)=\{x^{*}:x^{*}\text{ controllabile allo stato zero }{x}_0\text{ al tempo }{t}^{*}\}$

L'insieme di controllabilità $X_C\left(t^{*}\right)$ costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato $X$.

Il sottospazio di controllabilità $X_C$ è il più grande insieme di controllabilità $X_C\left(t\right)$:

$X_C=\underset{t\in [t_0,+\mathrm{\infty })}{\max }{X}_C\left(t\right)$

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità $X_C$ coincide con lo spazio di stato $X$, cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

$X_C=X$

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità $X_{NC}$, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità $X_C$:

$X_{NC}=X_C^{\mathrm{\perp }}:\{\begin{array}{c}{X}_{NC}\cap X_C=\varnothing \\ X_{NC}\cup X_C=X\end{array}$

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

$X_R=X_C$

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità $X_R$ è incluso nel sottospazio di controllabilità $X_C$:

$X_R\subseteq X_C$

Se la matrice $A$ è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

$X_R=X_C$

Problema della realizzazione

Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento $H(\bullet )$ è univoca:

$H\left(s\right)=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +a_0}=C{(sI-A)}^{-1}B+D$

Invece, data la funzione di trasferimento $H(\bullet )$ di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

$H\left(s\right)=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +b_0}{a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +a_0}=\frac{d_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +d_0}{s^n+c_{n-1}{s}^{n-1}+\dots +c_0}+d_n\Rightarrow A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& 1\\ -c_0& -c_1& \cdots & -c_{n-1}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cccc}{d}_0& d_1& \cdots & d_{n-1}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}{d}_n\end{array}\right]$

• la matrice $A$ è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice $A$ è:

  $p\left(A\right)=\det (\lambda I-A)={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +c_1\lambda +c_0$

• il sistema dinamico individuato dalle matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ è sempre completamente raggiungibile.