Fondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Premesse

Ipotesi

Si considera un sistema dinamico SISO, LTI e a tempo continuo, con una certa funzione di trasferimento:

$H\left(s\right)=\frac{N_H\left(s\right)}{D_H\left(s\right)}$

e si restringe l'attenzione ai casi:

• $D_H\left(s\right)$ = polinomio di I grado → sistema del I ordine;
• $D_H\left(s\right)$ = polinomio di II grado → sistema del II ordine;

e inoltre si suppone $H\left(s\right)$ strettamente propria (= il grado di $N_H\left(s\right)$ è strettamente minore del grado di $D_H\left(s\right)$).

Si considerano due casi per l'ingresso $u\left(t\right)$:

• un ingresso impulsivo:

  $u(t)=\overline{u}\delta \left(t\right)\Rightarrow U\left(s\right)=\overline{u}$

• un ingresso a gradino:

  $u(t)=\overline{u}\epsilon \left(t\right)\Rightarrow U\left(s\right)=\frac{\overline{u}}{s}$

Si ipotizza che il sistema sia inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle):

$Y\left(s\right)=Y_f\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)$

Richiami

Teorema del valore iniziale

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }y\left(t\right)=\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{\lim }sY\left(s\right)$

Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti ($<+\mathrm{\infty }$); in particolare occorre che $Y\left(s\right)$ sia strettamente propria.

Teorema del valore finale

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }y\left(t\right)=\underset{s\to 0}{\lim }sY\left(s\right)$

Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti ($<+\mathrm{\infty }$); in particolare occorre che $sY\left(s\right)$ non abbia poli nel semipiano destro chiuso (= asse immaginario compreso) → tutti i poli di $sY\left(s\right)$ devono avere parte reale strettamente negativa.

Risposte di sistemi del I ordine

Si considera un sistema del I ordine con funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ avente un polo in $p$:

$H\left(s\right)=\frac{K^{*}}{s-p}$

dove $K^{*}$ è il guadagno.

Risposta a un ingresso impulsivo

Risposta $y\left(t\right)$ di un sistema del I ordine a un ingresso impulsivo $u\left(t\right)$ al variare del polo $p$

Applicando un ingresso impulsivo $u\left(t\right)$:

$u(t)=\overline{u}\delta \left(t\right)\Rightarrow U\left(s\right)=\overline{u}$

la risposta del sistema $y\left(t\right)$ è:

$Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)=\frac{K^{*}}{s-p}\overline{u}\Rightarrow y\left(t\right)=K^{*}\overline{u}{e}^{pt}\epsilon \left(t\right)$

Valore iniziale della risposta $y\left(t\right)$

Il teorema del valore iniziale si può applicare perché $Y\left(s\right)$ è strettamente propria:

$y\left(0^{+}\right)=\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{\lim }s\frac{K^{*}\overline{u}}{s-p}=K^{*}\overline{u}$

Condizioni di stabilità esterna

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se $sY\left(s\right)$ non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se $p\le 0$.

Valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$ della risposta $y\left(t\right)$

Il valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$ della risposta $y\left(t\right)$ del sistema è il valore a cui essa converge nel tempo:

$y_{\mathrm{\infty }}\triangleq \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }y(t)$

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

• se $p<0$:

  $y_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\to 0}{\lim }s\frac{K^{*}\overline{u}}{s-p}=0$

• se $p=0$:

  $y_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\to 0}{\lim }\cancel{s}\frac{K^{*}\overline{u}}{\cancel{s}}=K^{*}\overline{u}$

Risposta al gradino

Risposta $y\left(t\right)$ di un sistema del I ordine a un ingresso a gradino $u\left(t\right)$ al variare del polo $p$

Applicando un ingresso a gradino $u\left(t\right)$:

$u(t)=\overline{u}\epsilon \left(t\right)\Rightarrow U\left(s\right)=\frac{\overline{u}}{s}$

la risposta $y\left(t\right)$ del sistema è:

• se $p=0$:

  $Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)=\frac{K^{*}\overline{u}}{s^2}\Rightarrow y\left(t\right)=K^{*}\overline{u}t\epsilon \left(t\right)$

• se $p\ne 0$:

$Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)=\frac{K^{*}}{s-p}\frac{\overline{u}}{s}=\frac{\frac{K^{*}\overline{u}}{-p}}{s}+\frac{\frac{K^{*}\overline{u}}{p}}{s-p}=\frac{K^{*}\overline{u}}{-p}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s-p})\Rightarrow y\left(t\right)=\underset{K}{\underbrace{\frac{K^{*}}{-p}}}\overline{u}(\epsilon \left(t\right)-e^{pt}\epsilon \left(t\right))=K\overline{u}(1-e^{pt})\epsilon \left(t\right)$

Valore iniziale della risposta $y\left(t\right)$

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché $Y\left(s\right)$ è strettamente propria:

$y\left(0^{+}\right)=\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cancel{s}\frac{K^{*}\overline{u}}{\cancel{s}(s-p)}=0$

Condizioni di stabilità esterna

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se $sY\left(s\right)$ non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se $p<0$.

Valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$ della risposta $y\left(t\right)$

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

$y_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\to 0}{\lim }\cancel{s}\frac{K^{*}\overline{u}}{\cancel{s}(s-p)}=\frac{K^{*}\overline{u}}{-p}$

Parametri tipici

• la costante di tempo $\tau$ è l'istante di tempo in cui la risposta $y(t)$ raggiunge il 63% del valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$:

  $\tau =\left|\frac{1}{p}\right|$

• il tempo di salita $t_r$ è il tempo necessario perché la risposta $y(t)$ passi dal 10% al 90% del valore di regime $y_{\mathrm{\infty }}$;
• il tempo di assestamento $t_{a,\epsilon \mathrm{\%}}$ rispetto al percentile $\epsilon \mathrm{\%}$ è il tempo oltre il quale la risposta $y(t)$ non esce più dalla fascia $[(1-0,01\epsilon )y_{\mathrm{\infty }},(1+0,01\epsilon )y_{\mathrm{\infty }}]$:
  • a $t=3\tau$ la risposta $y(t)$ raggiunge il 95% del valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$:

    $t_{a,5\mathrm{\%}}\approx 3\tau$

Risposta al gradino di sistemi del II ordine

Caso 1: 2 poli reali distinti senza zeri

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ avente due poli reali distinti $p_1$ e $p_2$:

$H\left(s\right)=\frac{K^{*}}{(s-p_1)(s-p_2)},p_1\ne p_2\ne 0$

Applicando un ingresso a gradino $u(t)$:

$u(t)=\overline{u}\epsilon (t)\Rightarrow U\left(s\right)=\frac{\overline{u}}{s}$

la risposta $y(t)$ del sistema è:

$Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)=\frac{K^{*}\overline{u}}{s(s-p_1)(s-p_2)}\Rightarrow y\left(t\right)=\frac{K^{*}\overline{u}}{p_1{p}_2}[1+\frac{p_2}{p_1-p_2}{e}^{p_{1}t}-\frac{p_1}{p_1-p_2}{e}^{p_{2}t}]\epsilon (t)$

Valore iniziale della risposta $y\left(t\right)$

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché $Y\left(s\right)$ è strettamente propria:

$y\left(0^{+}\right)=\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cancel{s}\frac{K^{*}\overline{u}}{\cancel{s}(s-p_1)(s-p_2)}=0$

Condizioni di stabilità esterna

Risposta $y(t)$ di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali distinti e senza zeri a un ingresso a gradino $u(t)$ al variare della costante di tempo equivalente ${\tau }_{\text{eq}}$

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se $sY\left(s\right)$ non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se $p_1<0$ e $p_2<0$.

Valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$ della risposta $y\left(t\right)$

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

$y_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\to 0}{\lim }\cancel{s}\frac{K^{*}\overline{u}}{\cancel{s}(s-p_1)(s-p_2)}=\frac{K^{*}\overline{u}}{p_1{p}_2}$

Parametri tipici

• costante di tempo equivalente ${\tau }_{\text{eq}}$:

  ${\tau }_{\text{eq}}\cong \sum _{{}_i}{\tau }_{p_i}={\tau }_1+{\tau }_2=\left|\frac{1}{p_1}\right|+\left|\frac{1}{p_2}\right|$

  all'aumentare della costante di tempo equivalente ${\tau }_{\text{eq}}$ si riduce il tempo di salita della risposta $y(t)$

Caso 2: 2 poli reali distinti e 1 zero reale

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ avente due poli reali distinti $p_1$ e $p_2$ e uno zero reale $z$:

$H\left(s\right)=\frac{K^{*}(s-z)}{(s-p_1)(s-p_2)},p_1\ne p_2\ne z,p_1\ne p_2\ne 0$

Applicando un ingresso a gradino $u(t)$:

$u(t)=\overline{u}\epsilon (t)\Rightarrow U(s)=\frac{\overline{u}}{s}$

la risposta $y(t)$ del sistema è:

$Y(s)=H(s)U(s)=\frac{\overline{u}{K}^{*}(s-z)}{s(s-p_1)(s-p_2)}\Rightarrow y(t)=-\frac{K^{*}z\overline{u}}{p_1{p}_2}[1-\frac{(p_1-z)p_2}{z(p_1-p_2)}{e}^{p_{1}t}+\frac{(p_2-z)p_1}{z(p_1-p_2)}{e}^{p_{2}t}]\epsilon (t)$

Condizioni di stabilità esterna

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se $sY\left(s\right)$ non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se $p_1<0$ e $p_2<0$.

Effetti dello zero $z$

• 
  $z<\underset{i}{\max }{p}_i<0$
• 
  $\underset{i}{\max }{p}_i<z<0$
• 
  $z>0$

• $z<\underset{i}{\max }{p}_i<0$: al diminuire di $\left|z\right|$ si riduce il tempo di salita (quindi si riduce la costante di tempo equivalente ${\tau }_{\text{eq}}$) → è possibile definire una costante di tempo ${\tau }_z=\frac{1}{\left|z\right|}$ associata allo zero $z$:

  ${\tau }_{\text{eq}}=\sum _{{}_i}{\tau }_{p_i}-{\tau }_z$

• $\underset{i}{\max }{p}_i<z<0$: al diminuire di $\left|z\right|$ aumenta la sovraelongazione (risposta non monotona);
• $z>0$: al diminuire di $z$ aumenta la sottoelongazione (risposta inversa) che ha un effetto di ritardo sulla risposta.

Caso 3: 2 poli complessi coniugati distinti senza zeri

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ avente due poli complessi coniugati distinti $s_1={\sigma }_0+j{\omega }_0$ e $s_2={\sigma }_0-j{\omega }_0$:

$H\left(s\right)=K\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

dove:

• $K$ è il guadagno;
• la pulsazione naturale ${\omega }_n$ è la distanza dall'origine:

  ${\omega }_n=\sqrt{{{\sigma }_0}^2+{{\omega }_0}^2}$

• lo smorzamento $\zeta$ è il seno dell'angolo $\theta$ formato con l'asse immaginario:

  $\zeta =\sin \theta$

Applicando un ingresso a gradino $u(t)$:

$u(t)=\overline{u}\epsilon (t)\Rightarrow U(s)=\frac{\overline{u}}{s}$

la risposta $y(t)$ del sistema è:

$Y\left(s\right)=H\left(s\right)U\left(s\right)=\frac{\overline{u}K{\omega }_n^2}{s(s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)}$

Condizioni di stabilità esterna

Risposta $y(t)$ di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino $u(t)$ al variare dello smorzamento $\zeta$

Risposta $y(t)$ di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino $u(t)$ al variare della pulsazione naturale ${\omega }_n$

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se $sY\left(s\right)$ non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se ${\omega }_0=\mathrm{\Re }\left\{s_1\right\}=\mathrm{\Re }\left\{s_2\right\}<0$.

Se il sistema è BIBO-stabile la risposta $y(t)$ del sistema è:

$y(t)=\overline{u}K[1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin \left({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}t\right)+\arccos \zeta ]\epsilon (t)$

Valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$ della risposta $y\left(t\right)$

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

$y_{\mathrm{\infty }}=\underset{s\to 0}{\lim }\cancel{s}\frac{\overline{u}K{\omega }_n^2}{\cancel{s}(s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)}=K\overline{u}$

Parametri tipici

• costante di tempo $\tau$:

  $\tau =\frac{1}{\zeta {\omega }_n}$

• il valore di picco $y_{\text{max}}$ è il valore istantaneo massimo della risposta $y\left(t\right)$ assunto al tempo di picco $\hat{t}$:

  $y_{\text{max}}=y\left(\hat{t}\right)=\underset{t}{\max }y\left(t\right),\hat{t}=\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}\propto \frac{1}{{\omega }_n}$

Valori tipici della sovraelongazione massima in funzione dello smorzamento $\zeta$

• sovraelongazione massima $\hat{s}$:

  $\hat{s}=\frac{y_{\text{max}}-y_{\mathrm{\infty }}}{y_{\mathrm{\infty }}}=e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\Rightarrow \zeta =\frac{|\ln \hat{s}|}{\sqrt{{\pi }^2+{\ln }^2\hat{s}}}$

• sovraelongazione massima percentuale ${\hat{s}}_{\mathrm{\%}}$:

  ${\hat{s}}_{\mathrm{\%}}=100\cdot \hat{s}$

  fissata una pulsazione naturale ${\omega }_n$, al diminuire dello smorzamento $\zeta$ aumenta la sovraelongazione della risposta $y(t)$

• il tempo di salita $t_s$ è il primo istante in cui la risposta $y\left(t\right)$ raggiunge il valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$:

  $t_s=\hat{t}-\frac{\arccos \zeta }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}=\frac{1}{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}(\pi -\arccos \zeta )$

• il tempo di salita $t_r$ è il tempo necessario perché la risposta $y(t)$ passi dal 10% al 90% del valore di regime $y_{\mathrm{\infty }}$:

  $t_r\approx \frac{2,16\zeta +0,6}{{\omega }_n}$

  fissato uno smorzamento $\zeta$, al diminuire della pulsazione naturale ${\omega }_n$ aumenta il tempo di salita della risposta $y(t)$

• il tempo di assestamento $t_{a,\epsilon \mathrm{\%}}$ rispetto al percentile $\epsilon \mathrm{\%}$ è il tempo oltre il quale la risposta $y(t)$ non esce più dalla fascia $[(1-0,01\epsilon )y_{\mathrm{\infty }},(1+0,01\epsilon )y_{\mathrm{\infty }}]$:

  $t_{a,\epsilon \mathrm{\%}}\approx -\frac{\ln (0,01\epsilon )}{\zeta {\omega }_n}$

  • a $t=3\tau$ la risposta $y(t)$ raggiunge il 95% del valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$:

    $t_{a,5\mathrm{\%}}\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}=\frac{3}{\left|\mathrm{\Re }\left\{s_1\right\}\right|}=3\tau$

Caso 4: 2 poli reali coincidenti senza zeri

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento $H\left(s\right)$ avente due poli reali coincidenti $s_1=s_2=-\frac{1}{\tau }$:

$H\left(s\right)=\frac{K}{{(1+\tau s)}^2}$

Condizioni di stabilità esterna

Risposta $y(t)$ di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali coincidenti e senza zeri a un ingresso a gradino $u(t)$ al variare della costante di tempo $\tau$

Applicando un ingresso a gradino $u(t)$:

$u(t)=\overline{u}\epsilon (t)\Rightarrow U(s)=\frac{\overline{u}}{s}$

la risposta $y(t)$ del sistema:

$y\left(t\right)=\overline{u}K(1-e^{-\frac{t}{\tau }}-\frac{t}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }})\epsilon \left(t\right)$

è monotona e non presenta oscillazioni, sottoelongazioni o sottoelongazioni.

Valori tipici

$y_{\mathrm{\infty }}$	$\overline{u}K$
$t_r$	$\approx 3,36\tau$
$t_{a,5\mathrm{\%}}$	$\approx 4,74\tau$
$t_{a,1\mathrm{\%}}$	$\approx 6,64\tau$

Parametri tipici

• costante di tempo $\tau$: ($\zeta =1$)

  $\tau =\frac{1}{{\omega }_n}$

• valore a regime $y_{\mathrm{\infty }}$;
• tempo di salita $t_r$ dal 10% al 90%;

  all'aumentare della costante di tempo $\tau$ aumenta il tempo di salita $t_r$ della risposta $y(t)$

• tempo di assestamento $t_{a,\epsilon \mathrm{\%}}$ rispetto al percentile $\epsilon \mathrm{\%}$.