Fondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime

Template:Fondamenti di automatica2 Un sistema è in forma minima se e solo se è completamente raggiungibile e completamente osservabile:

• la rappresentazione interna, cioè la rappresentazione in variabili di stato, contiene sempre il numero minimo di variabili di stato;
• la rappresentazione esterna, cioè la funzione di trasferimento, non presenta mai cancellazioni zero-polo → tutti gli autovalori della matrice di stato $A$ compaiono come poli della funzione di trasferimento.

Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI

Un sistema dinamico LTI è esternamente stabile (o BIBO-stabile) se, per ogni ingresso $u\left(t\right)$ limitato, la sua risposta forzata si mantiene sempre limitata nel tempo:

$\mathrm{\forall }\overline{u}\in (0,+\mathrm{\infty }),\mathrm{\exists }\overline{y}\in (0,+\mathrm{\infty }):\Vert u\left(t\right)\Vert \le \overline{u},\mathrm{\forall }t\ge 0\Rightarrow \Vert y\left(t\right)\Vert \le \overline{y},\mathrm{\forall }t\ge 0$

Un sistema dinamico LTI, inizialmente a riposo, è BIBO-stabile se e solo se:

• a tempo continuo: la sua funzione di trasferimento $H\left(s\right)$, una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli $p$ con parte reale $\mathrm{\Re }\left\{p\right\}<0,\mathrm{\forall }p$;
• a tempo discreto: la sua funzione di trasferimento $H\left(z\right)$, una volta effettuate tutte le eventuali cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli $p$ con modulo $\left|p\right|<1,\mathrm{\forall }p$.

La stabilità (interna) asintotica implica la stabilità esterna, perché i modi naturali associati ai poli non cancellati con gli zeri sono sicuramente tutti convergenti. Se il sistema è in forma minima, la stabilità esterna implica la stabilità (interna) asintotica, perché nessun eventuale polo associato a modi naturali non convergenti viene cancellato.

Risposta in regime permanente

Il movimento $x(t)$ di un sistema dinamico LTI proprio:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)\end{array}$

può essere espresso come:

$x(t)=x_{\text{omog}}(t)+x_{\text{part}}(t)$

• $x_{\text{omog}}(t)$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione di stato, in cui $u(t)=0$ (corrisponde all'evoluzione libera dello stato $x_{\ell }(t)$ per un opportuno stato iniziale $x_{\ell }(t=0)$);
• $x_{\text{part}}(t)$ è una soluzione particolare dell'equazione di stato e dipende dall'ingresso $u(t)$ applicato.

Se il sistema è asintoticamente stabile, la risposta $y(t)$ ad un qualsiasi ingresso $u(t)$ può essere allora espressa come:

$y(t)=\underset{y_{\text{omog}}(t)}{\underbrace{C{x}_{\text{omog}}(t)}}+\underset{y_{\text{part}}(t)}{\underbrace{C{x}_{\text{part}}(t)}}=y_{\text{omog}}(t)+y_{\text{part}}(t)$

• un transitorio iniziale che risente anche del contributo del termine $y_{\text{omog}}(t)$;
• una risposta in regime permanente coincidente con il solo termine $y_{\text{part}}(t)$.

Il termine $y_{\text{omog}}(t)$ è la combinazione dei modi naturali. Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti i modi naturali sono convergenti, allora il sistema tende a una risposta in regime permanente:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{y}_{\text{omog}}(t)=0\Rightarrow \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }y(t)=y_{\text{part}}(t)$

Il termine $y_{\text{part}}(t)$ dipende dal particolare ingresso $u(t)$ applicato. Se il sistema è asintoticamente stabile:

• ingresso costante $u(t)=\overline{u}\cdot \epsilon (t)$:

  $y_{\text{part}}(t)=\overline{y}\epsilon (t),\overline{y}=H\left(0\right)\overline{u}=-C{A}^{-1}B\overline{u}$

• ingresso sinusoidale $u(t)=\overline{u}\sin ({\omega }_{0}t+{\theta }_0)\epsilon (t)$:

  $y_{\text{part}}(t)=\overline{y}\sin ({\omega }_{0}t+\phi )\epsilon (t),\{\begin{array}{c}\overline{y}=\left|H\left(j{\omega }_0\right)\right|\cdot \overline{u}\\ \phi =\arg H\left(j{\omega }_0\right)+{\theta }_0\end{array}$