Formulario di fisica per l'ingegneria/Cinematica/Cinematica traslazionale/Equazioni del moto

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Legge oraria

$$x(t)=\int v(t)dt$$Significato: integrando la definizione di velocità istantanea si può ricavare un'equazione che definisca la posizione in funzione del tempo.

Legge della velocità

$$v(t)=\int a(t)dt$$Significato: integrando la definizione di accelerazione istantanea si può ricavare un'equazione che definisca la velocità in funzione del tempo.

Casi particolari

• accelerazione costante: $a(t)=a$

Legge della velocità: $$v(t)=a\int dt=at+C=v(c)+at$$ Legge oraria: $$x(t)=\int (v(c)+at)dt=v(c)t+\frac{1}{2}a{t}^2+C=x(c)+v(c)t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

• accelerazione nulla: $a(t)=0$

Legge della velocità: $$v(t)=v(c)+at=v(c)=v$$ Legge oraria: $$x(t)=x(c)+v(c)t+\frac{1}{2}a{t}^2=x(c)+vt$$

Relazione indipendente dal tempo con accelerazione costante

$$t=\frac{v(t)-v(c)}{a}$$Significato: viene ricavata la variabile $t$ dalla legge della velocità. $$\begin{array}{cc}& x(t)=x(c)+v(c)\left(\frac{v(t)-v(c)}{a}\right)+\frac{1}{2}a(\frac{v(t)-v(c)}{a}{)}^2\\ & 2ax(t)=2ax(c)+2v(c)v(t)-2v^2(c)+v^2(t)+v^2(c)-2v(t)v(c)\\ & 2a(x(t)-x(c))=v^2(t)-v^2(c)\end{array}$$Significato: sostituendo la variabile $t$ e svolgendo i calcoli si ottiene una relazione che lega posizioni, velocità e accelerazione indipendentemente dalla variabile $t$.