Formulario di fisica per l'ingegneria/Cinematica/Composizione di moto traslazionale e rotazionale

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Posizione

$$\overrightarrow{r}(t)=r(t)\hat{r}$$Significato: luogo di un punto nell'istante $t$.

Velocità

$$\begin{array}{cc}\overrightarrow{v}(t)& =\frac{d(r(t)\hat{r})}{dt}=\frac{dr(t)}{dt}\hat{r}+r(t)\frac{d\hat{r}}{dt}=\\ & =v(t)\hat{r}+r(t)(\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})=v(t)\hat{r}+\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r}r(t)\end{array}$$Caso particolare: se non c'è rotazione, quindi se il versore $\hat{r}$ è costante, allora: $$\frac{d\hat{r}}{dt}=0⟹\overrightarrow{v}(t)=v(t)\hat{r}={\overrightarrow{v}}_L(t)$$Caso particolare: se non c'è traslazione, quindi se il raggio di rotazione $r$ è costante, allora: $$\frac{dr(t)}{dt}=0⟹\overrightarrow{v}(t)=\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r}r(t)={\overrightarrow{v}}_R(t)$$ In particolare $v_R$ rappresenta la velocità rotazionale del punto (che è tangenziale alla traiettoria). Significato: dall'analisi dei casi particolari si deduce che il termine $v_L$ è dovuto al moto traslazionale del punto, mentre il termine $v_T$ dipende dal moto rotatorio del punto. La velocità tangenziale $v_R$ è legata alla velocità angolare $\omega$ dalla relazione: $v_R=\omega \times \hat{r}r$.

Accelerazione

$$\begin{array}{cc}\overrightarrow{a}(t)& =\frac{d\overrightarrow{v}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}(v(t)\hat{r}+\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r}r(t))=\\ & =\frac{dv(t)}{dt}\hat{r}+v(t)\frac{d\hat{r}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{\omega }(t)}{dt}\times \hat{r}r(t)+\overrightarrow{\omega }(t)\times \frac{d\hat{r}}{dt}r(t)+\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r}\frac{dr(t)}{dt}=\\ & =a(t)\hat{r}+v(t)(\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})+\overrightarrow{\alpha }(t)\times \hat{r}r(t)+\overrightarrow{\omega }(t)\times (\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})r(t)+\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r}v(t)=\\ & =a(t)\hat{r}+2\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r}v(t)+\overrightarrow{\alpha }(t)\times \hat{r}r(t)+\overrightarrow{\omega }(t)\times (\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})r(t)\end{array}$$Caso particolare: se non c'è rotazione, quindi se il versore $\hat{r}$ è costante, allora: $$\frac{d\hat{r}}{dt}=0⟹\overrightarrow{a}(t)=a(t)\hat{r}={\overrightarrow{a}}_L(t)$$Caso particolare: se non c'è traslazione, quindi se il raggio di rotazione $r$ è costante, allora: $$\frac{dr(t)}{dt}=0⟹\overrightarrow{a}(t)=\overrightarrow{\alpha }(t)\times \hat{r}r(t)+\overrightarrow{\omega }(t)\times (\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})r(t)={\overrightarrow{a}}_R(t)$$ In particolare: $\overrightarrow{\alpha }(t)\times \hat{r}r(t)={\overrightarrow{a}}_T(t)$ è una componente tangenziale alla traiettoria; mentre $\overrightarrow{\omega }(t)\times (\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})r(t)={\overrightarrow{a}}_C(t)$ è una componente diretta verso il centro della traiettoria.

Caso particolare: se l'accelerazione angolare $\alpha$ è costante, allora l'accelerazione rotazionale e la velocità angolare sono nella relazione: $\overrightarrow{a}(t)=\overrightarrow{\omega }(t)\times (\overrightarrow{\omega }(t)\times \hat{r})r(t)$.

Significato: dall'analisi dei casi particolari si deduce che il termine $a_L$ è dovuto al moto traslazionale del punto, mentre il termine $a_R$ dipende dal moto rotatorio del punto.