Geometria per scuola elementare/Bisettrice di un angolo

Introduzione

1. Disegna la linea $\overline{DE}$.
2. Costruisci un triangolo equilatero su $\overline{DE}$ con il terzo vertice F ottenendo $\mathrm{△}DEF$.
3. Disegna la linea $\overline{BF}$.

Affermazione

1. Gli angoli $\mathrm{\angle }ABF$, $\mathrm{\angle }FBC$ sono uguali alla metà di $\mathrm{\angle }ABC$.

Dimostrazione

1. $\overline{DE}$ è un segmento che unisce il centro con la circonferenza di $\circ B,\overline{BD}$ e quindi è uguale al raggio.
2. Inoltre, $\overline{BE}$ è uguale a $\overline{BD}$.
3. $\overline{DF}$ e $\overline{EF}$ sono lati del triangolo $\mathrm{△}DEF$.
4. Quindi, $\overline{DF}$ è uguale a $\overline{EF}$.
5. Il segmento $\overline{BF}$ è uguale a se stesso
6. Grazie al criterio di congruenza lato-lato-lato i triangoli $\mathrm{△}ABF$ e $\mathrm{△}FBC$ sono congruenti.
7. Per cui, gli angoli $\mathrm{\angle }ABF$, $\mathrm{\angle }FBC$ sono uguali ala metà dell'angolo $\mathrm{\angle }ABC$.

Nota

Abbiamo mostrato un metodo semplice per dividere in due un angolo (bisezione) con riga e compasso. Sorge spontanea la domanda se si possa farlo per altri numeri. Fin dai tempi di Euclide, schiere di matematici si sono dedicate alla ricerca di un metodo per la trisezione di un angolo, cioè la sua divisione in tre parti uguali. Solo dopo secoli di tentativi è stato dimostrato che un metodo simile non può esistere e una costruzione, fatta solo con riga e compasso, è impossibile.

Esercizi

1. Trova una costruzione per dividere in 4 un angolo.
2. Trova una costruzione per dividere in un angolo in 8.
3. Esistono altri numeri per cui possiamo trovare simili costruzioni?