Geometria per scuola elementare/Copia di un segmento

Introduzione

Questa costruzione serve a copiare un segmento $\overline{AB}$ in un altro che parte dal punto T. La costruzione si ispira a Libro I, prop 2.

Costruzione

1. Indichiamo con A uno dei punti estremi di $\overline{AB}$. Quello che stiamo facendo è solo dare un nome a un punto. (Potremmo benissimo rimpiazzare A con l'altro punto estremo B: non cambierebbe nulla).
2. Disegna una linea $\overline{AT}$
3. Costruisci un triangolo equilatero $\mathrm{△}ATD$ (devi fare in modo che uno dei suoi lati sia proprio $\overline{AT}$).
4. Disegna il cerchio $\circ A,\overline{AB}$, centrato su A e di raggio $\overline{AB}$.
5. Ora disegna una linea da D in direzione di A e la prolunghi fino ad intersecare $\circ A,\overline{AB}$ in un punto a cui diamo nome E. Otteniamo così due segmenti $\overline{AE}$ e $\overline{DE}$.
6. Disegna il cerchio $\circ D,\overline{DE}$, con centro in D e raggio $\overline{DE}$.
7. Disegna una linea da D in direzione di T e la prolunghi fino ad intersecare $\circ D,\overline{DE}$ in un punto a cui diamo nome F. Otteniamo così due segmenti $\overline{TF}$ e $\overline{DF}$.

Affermazione

Il segmento $\overline{TF}$ è uguale a $\overline{AB}$ e parte da T.

Dimostrazione

1. I segmenti $\overline{AB}$ e $\overline{AE}$ partono entrambi dal centro di $\circ A,\overline{AB}$ e finiscono sulla circonferenza. Quindi sono uguali al raggio del cerchio e uguali tra loro.
2. I segmenti $\overline{DE}$ e $\overline{DF}$ partono entrambi dal centro di $\circ D,\overline{DE}$ e finiscono sulla circonferenza. Quindi sono uguali al raggio del cerchio e uguali tra loro.
3. $\overline{DE}$ è uguale alla somma delle sue parti $\overline{DA}$ e $\overline{AE}$.
4. $\overline{DF}$ è uguale alla somma delle sue parti $\overline{DT}$ e $\overline{TF}$.
5. Il segmento $\overline{DA}$ è uguale a $\overline{DT}$ perché sono due lati del triangolo equilatero $\mathrm{△}ATD$.
6. Siccome la somma dei segmenti è uguale e due degli addendi sono uguali fra loro, anche gli altri due addendi $\overline{AE}$ e $\overline{TF}$ dovranno essere uguali.
7. Quindi $\overline{AB}$ è uguale a $\overline{TF}$.