Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-angolo-lato

Introduzione

In questo capitolo, discuteremo di un altro teorema (o criterio) di congruenza: questa volta avremo a che fare con il criterio lato-angolo-lato. Il teorema è basato sull'esposizione presente nel Libro I, proposizione 4 degli Elementi.

Il criterio di congruenza lato-angolo-lato

Dati due triangoli $\mathrm{△}ABC$ e $\mathrm{△}DEF$ che abbiano uguali due lati, cioè:

1. Il lato $\overline{AB}$ è uguale a $\overline{DE}$
2. Il lato $\overline{CA}$ è uguale a $\overline{DF}$

e che abbiano uguali anche gli angoli compresi fra questi due lati, vale a dire:

1. L'angolo $\mathrm{\angle }CAB$ è uguale all'angolo $\mathrm{\angle }FDE$

Allora i triangoli sono congruenti e quindi anche gli altri lati ed angoli sono uguali.

Dimostrazione

Useremo il metodo di sovrapposizione – muovendo un triangolo sull'alto e mostrando che coincidono.

Non useremo la costruzione che già conosciamo per copiare linee e segmenti ma sposteremo il triangolo tutto insieme.

1. Sovrapponi $\mathrm{△}ABC$ su $\mathrm{△}DEF$ in modo che A vada a finire su D $\overline{AB}$ vada a finire su $\overline{DE}$.
2. Sappiamo che $\overline{AB}$ è uguale a $\overline{DE}$.
3. Per cui, B deve coincidere con E.
4. Sappiamo poi che l'angolo $\mathrm{\angle }CAB$ è uguale a $\mathrm{\angle }FDE$.
5. Perciò, $\overline{CA}$ va a finire su $\overline{DF}$.
6. Inoltre sappiamo che $\overline{CA}$ è uguale $\overline{DF}$.
7. Quindi, C deve coincidere con F.
8. Perciò, $\overline{CB}$ coincide con $\overline{EF}$.
9. I triangoli $\mathrm{△}ABC$ e $\mathrm{△}DEF$ coincidono.
10. I triangoli $\mathrm{△}ABC$ e $\mathrm{△}DEF$ sono congruenti.