Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:

$a{x}^2+bx+c>0$

Risoluzione algebrica

Partendo dalla nostra disequazione:

$a{x}^2+bx+c>0$

poniamo una limitazione non restrittiva $a>0$ (se $a<0$ basta moltiplicare entrambi i membri per -1)

Raccogliamo $a$:

$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})>0$

$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})>0$

$a[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]>0$

$a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}>0$

$b^2-4ac$ è la discriminante dell'equazione $a{x}^2+bx+c=0$, quindi scriviamo:

$a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}>0$

A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:

• $\mathrm{\Delta }<0$

${x+\frac{b}{2a}}^2$ è una quantità sempre positiva e $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$ è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.

• $\mathrm{\Delta }=0$

$-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$ è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: ${x+\frac{b}{2a}}^2>0$. Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per $x=-\frac{b}{2a}$, che invece rende il primo membro uguale a zero.

• $\mathrm{\Delta }>0$

In questo caso significa che l'equazione $a{x}^2+bx+c=0$ ha due soluzioni e il trinomio $a{x}^2+bx+c$ è quindi scomponibile in $a(x-x_1)(x-x_2)$; la nostra disequazione diventa quindi:

$a(x-x_1)(x-x_2)>0$

Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:

$(x-x_1)(x-x_2)>0$

Scriviamo il quadro dei segni:

$f_1>0x>x_1$

$f_2>0x>x_2$

		$x_1$		$x_2$
$f_1$	–		+		+
$f_2$	–		–		+
$f_1\cdot f_2$	+		–		+

A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:

$x<x_1\vee x>x_2$

Se consideriamo invece la disequazione:

$a{x}^2+bx+c<0$

i nostri risultati saranno invece:

• $\mathrm{\Delta }<0$

La disequazione non è verificata per alcun valore di x

• $\mathrm{\Delta }=0$

La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x

• $\mathrm{\Delta }>0$

Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:

$x_1<x<x_2$

(x è compreso tra le due soluzioni).

Se anziché essere $>$ o $<$ il nostro segno fosse $\ge$ o $\le$ dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: Template:Avanzamento