Matematica per le superiori/I polinomi

Definizioni

Polinomio

$x^2+ax{b}^4+2x^2+7z$

Può essere inteso quindi anche come la somma di monomi non simili.

Polinomio ridotto

Esempio

Il polinomio $ax+b^2+y{z}^4$ è un polinomio ridotto, perché è costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa.

Nomenclatura

Alcuni polinomi hanno una nomenclatura particolare: Template:Definizione Esistono quindi ad esempio anche trinomi, quadrinomi ecc... (solitamente oltre i quadrinomi non ha più senso utilizzare con nomi specifici).

Grado

Esempio Il grado del polinomio $x^4+a{x}^2+b{x}^3+a+x$ è 4, poiché i gradi dei suoi termini sono:

• $x^4$: 4;
• $a{x}^2$: 3;
• $b{x}^3$: 4;
• $a$: 1;
• $x$: 1;

e il massimo tra questi è 4.

Operazioni tra polinomi

Addizione

Per sommare due o più polinomi è sufficiente riscriverli effettuando i dovuti cambiamenti di segno che sono necessari. Ad esempio:

$(4a+12b+7c)-(21x-12xy)=4a+12b+7c-21x+12xy$

Nel caso la somma risultasse un polinomio non ridotto, basterà ridurlo.

Moltiplicazione

Per moltiplicare tra loro due polinomi è necessario fare ricorso alla proprietà distributiva. Partiamo dal caso più semplice, la moltiplicazione di un monomio con un binomio:

Il procedimento è quindi lo stesso andando avanti. Quando i polinomi sono costituiti da molti monomi, la cosa più comodo è moltiplicare il primo monomio del primo fattore con i monomi del secondo, e così via in ordine fino all'ultimo.

Esempio

$(a+b+c)(d+e)=ad+ae+db+be+cd+ce$

Riduzione delle variabili

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

$p=x^2+y+2$

può essere considerato anche come polinomio in x soltanto, dando a y il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in y soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio p ha grado 2 rispetto a x, e solo 1 rispetto a y. Ad esempio, il polinomio

$x^2{y}^3+z^4$

è di grado 5, ma se visto soltanto nelle singole variabili x, y e z ha grado rispettivamente 2, 3 e 4.

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