Matematica per le superiori/L'ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

Fig. 1

L'equazione generica dell'ellisse può essere dedotta dal suo significato geometrico:
$P{F}_1=a-(-c)=a+c$
$P{F}_1=\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$
$P{F}_2=a-(c)=a-c$
$P{F}_2=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$
$P{F}_1+P{F}_2=a+c+a-c=2a$

$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$
$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$
$(x-c{)}^2+y^2=4a^2+(x+c{)}^2+y^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$
$x^2+c^2-2cx=4a^2+x^2+c^2+2cx-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$
$-4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$
$-cx-a^2=-a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$
$c^2{x}^2+a^4+2a^{2}cx=a^2((x+c{)}^2+y^2)$
$c^2{x}^2+a^4+2a^{2}cx=+a^2{x}^2+a^2{c}^2+2a^{2}cx+a^2{y}^2$
$c^2{x}^2+a^4=a^2{x}^2+a^2{c}^2+a^2{y}^2$
$x^2(a^2-c^2)+a^2{y}^2=a^4-a^2{c}^2$
$x^2(a^2-c^2)+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)$
Ponendo:

$b^2=a^2-c^2$

si ha: $b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$

$\frac{b^2{x}^2}{a^2{b}^2}+\frac{a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2{b}^2}$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

È quindi possibile operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

$\frac{(x-x_c{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_c{)}^2}{b^2}=1$

Fig. 2

• Nel grafico il valore di a corrisponde a metà dell'estensione orizzontale dell'ellisse, mentre il valore di b a metà di quella verticale.
• c può essere ricavato dall'equazione $se(a>b)allora:c^2=a^2-b^{2}quindi:c=\sqrt{a^2-b^2}$.

$se(a<b)allora:c^2=b^2-a^{2}quindi:c=\sqrt{b^2-a^2}$.

• Un altro valore chiamato eccentricità indica quanto l'ellisse è allungata.

Se i fuochi sono sull'asse x allora $e=\frac{c}{a}$.

Se invece i fuochi sono sull'asse y allora $e=\frac{c}{b}$.

Completamento del quadrato

A volte capita che l'equazione si trovi espressa in forma implicita, come nel caso seguente:
$x^2-2x{x}_c+y^2-2y{y}_c=0$
Bisogna allora ricostruire i quadrati aggiungendo i termini mancanti:
$x^2-2x{x}_c+x_c^2+y^2-2y{y}_c+y_c^2=x_c^2+y_c^2$
Occorre prestare attenzione a portare fuori dalle parentesi eventuali coefficienti di x e y, che determinano il valore di a e b, e quindi dividere il tutto per il valore a destra.

Torna al sommario