Matematica per le superiori/L'iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione generica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

$F_1(-c;0)$

$F_2(c;0)$

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

$|P{F}_1-P{F}_2|=2a$

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo $2a$.

Sviluppando avremo:

$|\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}|=2a$

$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$(x-c{)}^2+y^2=4a^2+(x+c{)}^2+y^2+4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$x^2+c^2-2cx-4a^2-x^2-c^2-2cx=4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$-4cx-4a^2=4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$c^2{x}^2+a^4+2a^{2}cx=a^2{x}^2+a^2{c}^2+2a^{2}cx+a^2{y}^2$

$x^2(c^2-a^2)-a^2{y}^2=a^2{c}^2-a^4$

$\frac{x^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2{y}^2}{a^2(c^2-a^2)}=\frac{a^2(c^2-a^2)}{a^2(c^2-a^2)}$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Per comodità possiamo porre:

$b^2=c^2-a^2$

e avremo quindi:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

Centro e punti notevoli

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

$\frac{(-x{)}^2}{a^2}-\frac{(-y{)}^2}{b^2}=1$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ & y=0\\ \end{array}\end{array}$

$\frac{x^2}{a^2}=1$

$x^2=a^2$

$x=\pm a$

I vertici saranno pertanto: $V(a;0)$ e $V(-a;0)$

Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta $y=x$. L'equazione diventerà quindi:

$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

$\frac{(x-x_c{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_c{)}^2}{b^2}=1$

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