Matematica per le superiori/La parabola

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco ed una retta detta direttrice.

Equazione generica

Una parabola con vertice nell'origine ha equazione:
$y=a{x}^2$

• Il valore di a nella rappresentazione grafica corrisponde all'ampiezza della parabola: più a è grande più stretta sarà la parabola, più è piccolo più la parabola sarà aperta e somigliante ad una retta orizzontale (infatti con a=0 si ottiene y=0, l'asse delle x). Quando a è positivo il vertice è il punto più basso della parabola, quando è negativo il più alto.

Per spostare il vertice dall'origine si può immaginare una traslazione, ottenendo l'equazione generica esplicita della parabola:
$(y-y_v)=a(x-x_v{)}^2$

Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):
$y=a(x-x_v{)}^2+y_v$
$y=a{x}^2+2a{x}_{v}x+a{x}_v^2+y_v$
$y=a{x}^2+bx+c$
in cui
$b=2a{x}_v$
$c=a{x}_v^2+y_v$

• c rappresenta l'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate (infatti quando x=0 y=c).

È comunque possibile ricostruire le coordinate del vertice anche a partire dalla forma implicita:
$b=-2a{x}_v$ $x_v=-\frac{b}{2a}$
$c=a{x}_v^2+y_v$ $y_v=c-a{x}_v^2=c-a(-\frac{b}{2a}{)}^2=c-a\frac{b^2}{4a^2}=\frac{-b^2+4ac}{4a}=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$
$v(-\frac{b}{2a};-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a})$

Per trovare il fuoco e la direttrice si utilizzano invece le seguenti formule:

$F(x_v;y_v+\frac{1}{4a})$

$d:y=y_v-\frac{1}{4a}$

Rette tangenti alla parabola

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla parabola (da un punto interno non possono passare tangenti).

• Punto esterno, due tangenti: l'unico metodo per trovare le tangenti che passano per un punto esterno alla parabola è mettere a sistema la parabola ed il fascio per P imponendo che il delta sia ugualea 0 (un'unica soluzione comune alle due equazioni, che nel grafico corrisponde ad una sola intersezione tra le due funzioni)

• Punto appartenente alla parabola: per trovare le rette tangenti in un punto appartenente alla parabola si può usare una formula apposita, ricavata in questo modo:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=a{x}^2+bx+c\\ & y-y_0=m(x-x_0)\end{array}\end{array}$ (sistema tra una parabola generica ed una retta generica)

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& y=a{x}^2+bx+c\\ & y=mx-m{x}_0+y_0\end{array}\end{array}$

$mx-m{x}_0+y_0=a{x}^2+bx+c$

$a{x}^2+(b-m)x+c+m{x}_0-y_0=0$

$x_1=x_2=x_0$ (L'equazione ha due soluzioni coincidenti con $x_0$)

$x_1+x_2=-\frac{b-m}{a}=2x_0$

$\frac{m-b}{a}=2x_0$

$m=2a{x}_0+b$

In questo modo si ottiene il coefficiente angolare della retta tangente; per trovare il valore di q sarà sufficiente sostituire le coordinate del punto di tangenza nell'equazione generica $y=mx+q$ e ricavare q ($q=y-mx$).

Parabole con asse di simmetria parallelo all'asse x

Le parabole con asse orizzontale hanno:

• Equazione generica $x-x_v=a(y-y_v{)}^2$ o $x=a{y}^2+by+c$. a rappresenta sempre l'apertura e l'orientamento, c l'intersezione con l'asse delle ascisse.
• $y_v=-\frac{b}{2a}$
• $F(x_v+\frac{1}{4a};y_v)$
• $d:x=x_v-\frac{1}{4a}$

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