Matematica per le superiori/La retta

Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un equazione a due incognite di primo grado.

Ricavare l'equazione

Tracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.

Secondo il teorema di Talete, valgono le equazioni:

$\frac{H_{1}H}{H_1{H}_2}=\frac{P_{1}P}{P_1{P}_2}$ e $\frac{K_{1}K}{K_1{K}_2}=\frac{P_{1}P}{P_1{P}_2}$

Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:

$\frac{H_{1}H}{H_1{H}_2}=\frac{K_{1}K}{K_1{K}_2}$

Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P1, P e P2 si ottiene

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo $y_2-y_1=a$, $x_1-x_2=b$ e $x_2{y}_1-x_1{y}_2=c$ si ottiene l'equazione in forma implicita:

$ax+by+c=0$

Il coefficiente angolare e l'intercetta

Se si ricava la y da quell'equazione e si pone $-\frac{a}{b}=m$ e $-\frac{c}{b}=q$ si ottiene

$y=mx+q$

dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.

• Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è:
  $y=mx$
  il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
• Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta:
  $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$
  Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti:
  $y_1=y_2$
  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0}{\mathrm{\Delta }x}=0$
  Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito:
  $x_1=x_2$
  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{0}$
  L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo
  $x=k$
  dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti.
  Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°	135°	150°
m	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$m\to \mathrm{\infty }$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Rette parallele e perpendicolari

I coefficienti angolari delle rette il cui rapporto è definibile sono legati matematicamente.

Rette parallele

Fig. 1

Ip.: $r//r^{\prime }$

Ts.: $m_r=m_{r^{\prime }}$

Dim:
I triangoli ABO e A'B'O sono simili, infatti:

• Gli angoli AOB e A'OB' sono uguali perché opposti al vertice.
  
• Gli angoli ABO e OB'A' sono uguali perché alterni interni.
  
• Gli angoli BAO e B'A'O sono uguali perché alterni interni.
  

$m_r=\frac{\overline{AO}}{\overline{OB}}$
$m_{r^{\prime }}=\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{O{B}^{\prime }}}$
siccome sono simili $\frac{\overline{AO}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{O{B}^{\prime }}}$ e quindi:
$m_r=m_{r^{\prime }}$ cvd.

Rette perpendicolari

File:Rette perpendicolari.png

Fig. 2

Ip.: $r\mathrm{\perp }{r}^{\prime }$

Ts.: $m_r=-\frac{1}{m_{r^{\prime }}}$

Dim:
I triangoli ABO e CDO sono simili.
$m_r=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}$

$m_{r^{\prime }}=\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}$

$\overline{AB}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{CD}$

$m_r=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{-\overline{OD}}{\overline{CD}}=-\frac{1}{\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}}=-\frac{1}{m_{r^{\prime }}}$

Simmetrie

• Simmetria rispetto all'asse y: m -> -m; q -> -q
• Simmetria rispetto all'asse x: m -> -m; q -> q
• Simmetria rispetto all'origine (composizione delle prime due): m -> m; q -> -q

Lavorare con l'equazione

Partendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:

$r:y=3x+1$
$P(2,3)$
$3=3\cdot 2+1$
$3\ne 7\Rightarrow$ P non appartiene ad r

Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:

Retta per un punto

$y=mx+q$
$P(x_0,y_0)$
$y_0=m{x}_0+q$
$q=y_0-m{x}_0$
$y=mx+y_0-m{x}_0$
$y-y_0=m(x-x_0)$

Questa formula è equivalente a quella classica, $y=mx+q$, da cui deriva, ma in molte situazioni è più comoda da utilizzare.

Retta per due punti

Dati due punti $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$, per trovare l'equazione della retta corrispondente si può procedere nel seguente modo:

1. Si trova m: $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$.
2. Si sostituiscono nell'equazione le coordinate di uno dei due punti.
3. Si ricava q dalla stessa equazione.

Distanza di un punto da una retta

Per "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.

Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:

File:Distanza punto-retta.png

Fig. 3

$r:ax+by+c=0$
(Equazione in forma implicita) $y=-\frac{a}{b}$
$y=\frac{b}{a}$ (Retta perpendicolare)
$s:y=\frac{b}{a}x$
$\{\begin{array}{c}y=\frac{b}{a}x\\ ax+by+c=0\end{array}$ $\{\begin{array}{c}-\\ ax+\frac{b^2}{a}x+c=0\end{array}$ $\{\begin{array}{c}-\\ \frac{a^{2}x+bx+ac}{a}=0\end{array}$ $\{\begin{array}{c}-\\ x(a^2+b^2)=-ac\end{array}$ $\{\begin{array}{c}-\\ x=-\frac{ac}{a^2+b^2}\end{array}$ $\{\begin{array}{c}y=\frac{b}{a}\frac{-ac}{a^2+b^2}\\ x=-\frac{ac}{a^2+b^2}\end{array}$
$\overline{OH}=\sqrt{\frac{a^2{c}^2}{(a^2+b^2{)}^2}+\frac{b^2{c}^2}{(a^2+b^2{)}^2}}=\sqrt{\frac{a^2{c}^2+b^2{c}^2}{(a^2+b^2{)}^2}}=\sqrt{\frac{c^2(a^2+b^2)}{(a^2+b^2{)}^2}}=\frac{\sqrt{c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione:
r in O: $ax+by+c=0$ $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-x_0\\ y^{\prime }=y-y_0\end{array}$ $\{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+x_0\\ y=y^{\prime }+y_0\end{array}$
r in P: $a(x^{\prime }+x_0)+b(y^{\prime }+y_0)+c=0$
$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+a{x}_0+b{y}_0+c=0$

$=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.

Come già visto, il fascio per un punto $P(x_0,y_0)$ è ottenibile con la formula $y-y_0=m(x-x_0)$, ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici. Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.

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