Matematica per le superiori/Limiti

Template:Matematica per le superiori Per limite si intende il valore, $l$, al quale una funzione $f(x)$ si avvicina quando la variabile indipendente si avvicina a un determinato valore $a$. Si scrive quindi:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$

e si legge: Il limite per $x$ che tende a $a$ di $f(x)$ è uguale a $l$.

Sia $a$ sia $l$ possono essere dei valori numerici oppure $\mathrm{\infty }$.

Il valore $a$ deve essere un punto di accumulazione per l'insieme di definizione della funzione $f(x)$, non deve essere un punto isolato, cioè per quanto piccolo prenda un intorno di $a$ questo deve contenere altri punti dell'insieme di definizione della funzione.

Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.

Definizione

Se $a$ è un punto di accumulazione per un insieme di esistenza della funzione $f(x)$ allora diremo che $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$ se per qualunque intorno di $l$ esiste un intorno di $a$ tale che per ogni $x$ appartenente all'intorno di $a$ tranne $a$ stesso, $f(x)$ appartiene all'intorno di $l$.

Quindi, chiamando $I_l$ e $I_a$ rispettivamente un intorno di $l$ e un intorno di $a$:

$\mathrm{\forall }{I}_l\mathrm{\exists }{I}_a|\mathrm{\forall }x\in (I_a-a)\to f(x)\in I_l$

Per verificare il limite bisogna verificare che:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta |\mathrm{\forall }x|x-a|<\delta \wedge x\ne x_0\to |f(x)-l|<ϵ$

Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui il valore a cui tende $x$ o il limite siano finiti o infiniti:

Un limite finito per $x$ che tende a un valore finito:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$.

Un limite infinito per $x$ che tende a un valore finito:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$.

Un limite finito per $x$ che tende a un valore infinito:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$.

Un limite infinito per $x$ che tende a un valore infinito:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$.

Infiniti

La funzione $f(x)$ si dice un infinito per $x$ che tende a $c$ se $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

Dati due infiniti $f(x)$ e $g(x)$ si possono avere i seguenti casi:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ $\frac{f(x)}{g(x)}=n$ con $n\ne 0$ allora gli infiniti sono dello stesso ordine.
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ allora $g(x)$ è un infinito di ordine superiore a $f(x)$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$ $\frac{f(x)}{g(x)}=\mathrm{\infty }$ allora $f(x)$ è un infinito di ordine superiore a $g(x)$

Infinitesimi

La funzione $f(x)$ si dice un infinitesimo per $x$ che tende a $c,$ se $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0$

Dati due infinitesimi $f(x)$ e $g(x)$ si possono avere i seguenti casi:

• $\underset{x\to 0}{\lim }$ $\frac{f(x)}{g(x)}=n$ con $n\ne 0$ allora gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
• $\underset{x\to 0}{\lim }$ $\frac{f(x)}{g(x)}=0$ allora $f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $g(x)$
• $\underset{x\to 0}{\lim }$ $\frac{f(x)}{g(x)}=\mathrm{\infty }$ allora $g(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $f(x)$

Limiti e infinitesimi

teorema

Chiamando $\alpha (x)$ un infinitesimo per $x\to c$, se:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=l$

allora:

$f(x)=l+\alpha (x)$

e viceversa.

dimostrazione

1. .
2. .

q.e.d.

Somma di infinitesimi

Se $\alpha (x)$ e $\beta (x)$ sono due infinitesimi allora $\alpha (x)+\beta (x)$ è un infinitesimo.

Prodotto di infinitesimi

Se $\alpha (x)$ e $\beta (x)$ sono due infinitesimi allora $\alpha (x)\cdot \beta (x)$ è un infinitesimo.

Calcolo con i limiti

Prodotto di funzioni

teorema

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.

Se $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$ e $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=m$ allora $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=l\cdot m$

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che:

1. $|f(x)\cdot g(x)-l\cdot m|<ϵ$

Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:

$f(x)=l+\alpha (x)$

e

$g(x)=m+\beta (x)$

con $\alpha (x)$ e $\beta (x)$ due infinitesimi per $x\to a$.

L'espressione 1. diventa:

2. $|(l+\alpha (x))\cdot (m+\beta (x))-l\cdot m|<ϵ$

Svolgendo i calcoli si ottiene:

$|l\cdot m+l\cdot \alpha (x)+m\cdot \beta (x)+\alpha (x)\cdot \beta (x)-l\cdot m|<ϵ$

e:

3. $|l\cdot \alpha (x)+m\cdot \beta (x)+\alpha (x)\cdot \beta (x)|<ϵ$

Ora:

• i prodotto di valori finiti per infinitesimi ($l\cdot \alpha (x)$ e $m\cdot \beta (x)$) sono infinitesimi,
• il prodotto tra due infinitesimi ($\alpha (x)\cdot \beta (x)$) e un infinitesimo,
• la somma tra questi infinitesimi è un infinitesimo.

Quindi il contenuto del modulo è minore di qualunque $ϵ$ dato per $x\to a$.

q.e.d.

Limiti notevoli

Limiti notevoli di funzioni goniometriche

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ϵ(x)}{ϵ(x)}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 𝑎x}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}𝑎$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\frac{1}{2}$

Limiti notevoli di funzioni esponenziali

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x\stackrel{\left[{\mathrm{\infty }}^0\right]}{=}e$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{ϵ(x)})}^{ϵ(x)}\stackrel{\left[{\mathrm{\infty }}^0\right]}{=}e$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{𝑎}{x})}^x\stackrel{\left[{\mathrm{\infty }}^0\right]}{=}{e}^{𝑎}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x\stackrel{\left[{\mathrm{\infty }}^0\right]}{=}\frac{1}{e}$

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}\stackrel{\left[1^{\mathrm{\infty }}\right]}{=}e$

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+ϵ(x))}^{\frac{1}{ϵ(x)}}\stackrel{\left[1^{\mathrm{\infty }}\right]}{=}e$

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1-x)}^{\frac{1}{x}}\stackrel{\left[1^{\mathrm{\infty }}\right]}{=}\frac{1}{e}$

$\lim f(x{)}^{g(x)}=\lim e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$

Limiti notevoli di funzioni contenenti logaritmi o esponenziali

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_{𝑎}(1+x)}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}{\log }_{a}e=\frac{1}{\ln a}$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+ϵ(x))}{ϵ(x)}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{𝑎}^x-1}{x}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\ln 𝑎$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ϵ(x)}-1}{ϵ(x)}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{𝑎}^{ϵ(x)}-1}{ϵ(x)}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\ln 𝑎$

I limiti nello studio di funzioni

Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).

Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione ($+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $1^{\mathrm{\infty }}$): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.