Matematica per le superiori/Successioni numeriche

Si dice successione numerica una sequenza ordinata di numeri. Sono esempi di successioni:

• i numeri pari: $2,4,6,8,10,12,...$
• i numeri dispari: $1,3,5,7,9,11,13,...$
• i numeri quadrati perfetti: $1,4,9,16,...$
• i reciproci dei numeri naturali: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...$
• ...

Alcune successioni particolarmente semplici e dotate di particolari proprietà sono le progressioni aritmetiche e le progressioni geometriche.

Alcune importanti successioni

Oltre ai numeri pari e dispari, a cui facevano riferimento già i Pitagorici, ci sono altre successioni importanti in matematica.

• I numeri triangolari.
• I numeri quadrati. È interessante il ragionamento di Galileo Galilei sull'infinito, ragionamento basato proprio sul confronto tra i numeri quadrati e i numeri interi positivi.
• La successione di Fibonacci che ha sorprendenti collegamenti con le scienze naturali (spirali che si possono contare su una pigna o nel girasole) e con altre parti della matematica (triangolo di Tartaglia) o della geometria (sezione aurea). Nella successione di Fibonacci ogni numero è uguale alla somma dei due numeri precedenti. Essendo i primi due numeri 0 e 1, la sequenza è: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ....
• La successione dei numeri primi, successione che presenta ancora problemi irrisolti e che è di grande importanza attualmente dato che la sicurezza dei dati si basa sulla difficoltà di scomporre in due numeri primi un numero molto grande.
• La successione a "chicchi di grandine". In questa successione di numeri appartenenti a N ogni numero si determina in base a questa regola: se un numero è pari, il numero successivo è la sua metà; se invece un numero è dispari, il numero successivo è il numero moltiplicato per tre più uno. Quindi da 12 si passa a 6, poi a 3, poi a 10 (3 per 3 + 1 = 10), ecc. Tutti i numeri naturali che sono stati provati per generare questa sequenza terminano nella sequenza chiusa 8, 4, 2, 1, 4, ... La definizione "chicchi di grandine" è dovuta al fatto che, trascrivendo la sequenza su un piano cartesiano, il grafico è simile al processo che porta una goccia d'acqua a diventare, per successive cadute e risalite, un chicco di grandine che infine cade a terra.
• Le successioni che approssimano particolari valori.

Definizione

Alcune successioni possono essere definite:

• dal primo termine e una legge che, dato un termine, calcola il termine successivo, definizione ricorsiva.

$3,7,11,15,...\to \{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=3\\ & a_n=a_{n-1}+4\end{array}\end{array}$

$36,18,9,4.5,...\to \{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=36\\ & a_n=\frac{a_{n-1}}{2}\end{array}\end{array}$

• da una funzione con dominio in $\mathbb{N}$.

$0,1,4,9,16,...\to a_n=n^2$

Grafico

File:Mat sup succ 00.png

Le successioni possono essere rappresentate nel piano cartesiano, come tutte le altre funzioni. La rappresentazione grafica può dare delle informazioni immediate che è difficile ricavare direttamente dalla formula o dalla sequenza di numeri.

Il grafico di una successione è formato da punti isolati.

Il grafico riportato a destra rappresenta la successione $a_n=\frac{18}{n}$

File:Mat sup succ 01.png

A volte l'interpretazione del grafico può essere aiutata da una leggera linea che collega tra di loro i punti. Questa linea non ha significato matematico, è solo una guida per l'occhio.

Si possono confrontare le due successioni riportate nel grafico a sinistra ($a_n=4\sin (3n)+5$ e $a_n=4\sin (3n)-5$) dove la seconda è uguale alla prima ma traslata verso il basso di 10 unità.

.

Caratteristiche

Andamento

File:Mat sup succ 02.png

Consideriamo la successione rappresentata dalla seguente funzione:

$a_n=\frac{n-1}{n+1}$

i primi termini della successione sono:

$-1,0,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},...$

la stessa successione scritta usando la notazione decimale per i numeri è:

$-1,0,0.\overline{3},0.5,0.6,0.\overline{6},...$

Si può osservare che più $n$ aumenta, più aumenta il corrispondente valore della successione. In questo caso si dice che la successione è crescente. Se invece al procedere della sequenza di numeri i valori calano la successione è detta decrescente. Successioni che presentano lo stesso tipo di andamento si dicono monotòne e possiamo avere i seguenti 4 casi:

se $a_{n+1}>a_n\mathrm{\forall }n$	crescente
se $a_{n+1}<a_n\mathrm{\forall }n$	decrescente
se $a_{n+1}\ge a_n\mathrm{\forall }n$	non decrescente
se $a_{n+1}\le a_n\mathrm{\forall }n$	non crescente

Limite di una successione

File:Mat sup succ 03.png

Riprendiamo la successione:

$a_n=\frac{n-1}{n+1}$

Abbiamo già visto che è crescente, ma possiamo osservare che per quanto grande diventi $n$, il numeratore non sarà mai maggiore del denominatore, quindi la frazione non supererà mai il valore $1$. La successione continua a crescere ma rimane sempre più piccola di $1$. Questo valore, se esiste, viene detto limite della successione.

Il limite di una successione è il valore che $a_n$ tende ad assumere quando $n$ tende ad infinito.

Ci sono diverse possibilità. Le successioni che crescono (o calano) sempre più superando qualunque valore, che tendono cioè a più (o meno) infinito si dicono divergenti. Quelle che si avvicinano sempre più a un valore definito sono chiamate convergenti. Esistono anche successioni che non sono né convergenti, né divergenti, i cui valori rimangono all'interno di un intervallo senza però approssimarsi ad un preciso valore, si dicono oscillanti.

Nell'immagine a fianco, dall'alto in basso abbiamo:

File:Mat sup succ 05.png

• la successione rosa: $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=50\\ & a_n=(a_{n-1}+\frac{a_0}{a_{n-1}})÷2\end{array}\end{array}$ (Converge a $\sqrt{a_0}$)
• la successione marrone: $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=18\\ & a_n=\sqrt{a_{n-1}}-{(-1)}^{n+1}\cdot \frac{2}{3}+3\end{array}\end{array}$
• la successione blu: $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=2\\ & a_n=\frac{a_{n-1}}{10-a_{n-1}}\end{array}\end{array}$
• la successione gialla: $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=-2\\ & a_n=a_{n-1}-(2n-1)\end{array}\end{array}$

Per calcolare ad occhio il limite delle successioni più semplici ci si può basare sul fatto che quando $n$ tende ad infinito alcuni valori nella definizione della successione diventano trascurabili, ad esempio, nella successione:

$a_n=\frac{3n+1}{2n-1-\sqrt{n}}$

Quando $n$ diventa molto grande costanti 1 e -1 non influenzano in modo significativo il calcolo, quindi:

$a_n=\frac{3n+1}{2n-1-\sqrt{n}}=\stackrel{\text{per n molto grande}}{\to }=\frac{3n}{2n-\sqrt{n}}$

Sempre per valori grandi di $n$ anche anche $\sqrt{n}$ diventa trascurabile quindi:

$a_n=\frac{3n}{2n-\sqrt{n}}=\stackrel{\text{per n molto grande}}{\to }=\frac{3n}{2n}$

Ora, l'ultima frazione può essere ridotta dividendo numeratore e denominatore per $n$ (che essendo molto grande è sicuramente diverso da zero) ottenendo:

File:Mat sup succ 04.png

$a_n=\frac{3n}{2n}=\stackrel{\text{per n diverso da zero}}{\to }=\frac{3}{2}$

Possiamo essere sicuri che la successione: $a_n=\frac{3n+1}{2n-1-\sqrt{n}}$ tende a: $\frac{3}{2}$

Quando la successione è definita da una frazione che ha come numeratore e denominatore due polinomi:

$a_n=\frac{N(n)}{D(n)}$

il limite della successione può essere dedotto dal grado dei polinomi:

se grado di $N(n)$ > grado di $D(n)$	divergente
se grado di $N(n)$ = grado di $D(n)$	convergente
se grado di $N(n)$ < grado di $D(n)$	converge a zero

Progressioni aritmetiche

Una progressione aritmetica è quindi una successione in cui l'elemento successivo si ottiene incrementando il precedente di un certo valore. Tale valore, q, prende il nome di ragione della progressione.

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=\text{valore iniziale}\\ & a_n=a_{n-1}+q\end{array}\end{array}$

L'ennesimo termine della successione si può ricavare immediatamente, senza scorrere tutta la successione fino a quel punto, con la formula:

$a_n=a_0+n\cdot q$

infatti:

$a_0=a_0+0\cdot q$

$a_1=a_0+1\cdot q$

$a_2=a_1+q=a_0+q+q=a_0+2\cdot q$

$a_3=a_2+q=a_0+2\cdot q+q=a_0+3\cdot q$

...

Andamento

È banale osservare che il limite nelle progressioni aritmetiche dipende dalla ragione $q$ e precisamente se la ragione $q$ è positiva la successione è crescente tende a $+\mathrm{\infty }$, se la ragione $q$ è negativa la successione è decrescente e tende a $-\mathrm{\infty }$, se la ragione vale zero la successione è costante quindi converge sul primo valore.

Somma dei termini

Per calcolare la somma di un sottoinsieme di termini contigui di una progressione aritmetica non è necessario calcolare ogni singolo valore e addizionarlo, ma si può utilizzare una formula generica.

Prendiamo ad esempio la progressione $\to \{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=0\\ & a_n=a_{n-1}+1\end{array}\end{array}$

$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...$
La somma dei primi cinque numeri è 10, il numero centrale, la media, è 2. Questo 2 è ottenibile con la classica formula della media, tra tutti i numeri della porzione considerata, ma si nota che anche che è semplicemente la media degli estremi:

$\frac{0+1+2+3+4}{5}=\frac{0+4}{2}$

Moltiplicando entrambi i membri per 5 si ottiene:

$0+1+2+3+4=\frac{0+4}{2}\cdot 5$

A questo punto si può generalizzare la formula che rimane valida per qualunque porzione contigua di una successione aritmetica con un qualunque numero di elementi: quindi chiamando $a_p$ il primo elemento della sequenza di cui vogliamo la somma, $a_u$ l'ultimo elemento e $n$ il numero di elementi:

$S_n=\frac{(a_p+a_u)}{2}\cdot n$

In parole: la somma degli elementi di una porzione contigua di una progressione aritmetica è la media tra i due estremi per il numero di elementi.

Si racconta che Gauss abbia lasciato allibito il proprio maestro calcolando in pochi secondi la somma dei numeri naturali compresi tra 1 e 100. Mentre i suoi compagni da bravi alunni proseguivano con ordine sommando 2 a 1 poi 3 a 3 poi 4 a 6 poi... Il piccolo grande matematico ha capito che aggiungere lo zero alla sequenza di numeri non avrebbe cambiato il risultato, gli avrebbe fatto fare un'operazione in più, ma gli avrebbe semplificato il lavoro. Quindi ha sommato il primo numero con l'ultimo, 0+100, il secondo con il penultimo 1+99, il terzo con il terzultimo 2+98... In questo modo ha ottenuto 50 coppie con somma 100 avanzandogli il numero 50: $50\cdot 100+50$ o come avremmo calcolato noi con la formula precedente: $\frac{(1+100)}{2}\cdot 100$.

Progressioni geometriche

Una progressione geometrica è quindi una successione in cui l'elemento successivo si ottiene moltiplicando il precedente per un certo valore. Tale valore, q, prende il nome di ragione della progressione.

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=\text{valore iniziale}\\ & a_n=a_{n-1}\cdot q\end{array}\end{array}$

Alcune delle formule relative alle progressioni geometriche si possono ricavare semplicemente da quelle delle progressioni aritmetiche con le seguenti sostituzioni:

addizione $\mapsto$ moltiplicazione

sottrazione $\mapsto$ divisione

moltiplicazione $\mapsto$ potenza

divisione $\mapsto$ radice

L'ennesimo termine della successione si può ricavare immediatamente, senza scorrere tutta la successione fino a quel punto, con la formula:

$a_n=a_0\cdot q^n$

infatti:

$a_0=a_0\cdot q^0$

$a_1=a_0\cdot q^1$

$a_2=a_1\cdot q=a_0\cdot q\cdot q=a_0\cdot q^2$

$a_3=a_2\cdot q=a_0\cdot q^2\cdot q=a_0\cdot q^3$

...

Andamento

Consideriamo il caso di progressioni geometriche con il primo termine positivo: $a_0>0$. Per progressioni con $a_0<0$ valgono discorsi analoghi con risultati simmetrici rispetto allo zero (all'asse x).

Rispetto al valore della ragione $q$ si avranno le seguenti possibilità:

ragione	andamento	limite
se $q>1$	crescente	divergente
se $q=1$	costante	convergente
se $0<q<1$	decrescente	convergente a zero
se $q=0$	decrescente	dopo il primo termine tutti gli altri valgono zero
se $-1<q<0$	a termini alternati	convergente a zero
se $q=-1$	a termini alternati	convergente
se $q<-1$	a termini alternati	divergente

Somma dei termini

La somma dei primi $n$ termini di una progressione geometrica è:

$S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_{n-1}$

Per quanto detto su un generico termine della progressione possiamo anche scriverla così:

$S_n=a_0+a_0\cdot q^1+a_0\cdot q^2+...+a_0\cdot q^{n-1}$

Ora un trucco ci permette di scrivere una formula che dia la somma in funzione del primo termine e della ragione: moltiplicando entrambi i membri dell'equazione precedente per la ragione $q$ otteniamo:

$S_n\cdot q=a_0\cdot q^1+a_0\cdot q^2+a_0\cdot q^3+...+a_0\cdot q^n$

Sottraendo dall'ultima equazione la precedente vari termini si annullano ottenendo:

$S_n\cdot q-S_n=a_0\cdot q^n-a_0$

da cui, raccogliendo $S_n$ a primo membro e $a_0$ a secondo si ottiene:

$S_n\cdot (q-1)=a_0\cdot (q^n-1)$

e esplicitando $S_n$ si giunge alla formula:

$S_n=a_0\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$

Somma di infiniti termini

Anche in questo paragrafo consideriamo progressioni che partono da un termine positivo. Per quello progressioni con primo termine negativo valgono considerazioni simili ma simmetriche rispetto allo zero (all'asse x).

Prima di procedere un'osservazione di tipo linguistico. La somma degli infiniti termini di una successione si chiama, in matematica serie. Da osservare che il termine serie nel senso comune è una successione ordinata mentre in matematica è un numero.

Chiamiamo quindi serie la somma degli infiniti termini di una successione:

$S_{\mathrm{\infty }}=a_0+a_1+a_2+a_3+...=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$

Se la ragione è compresa tra zero e uno, cioè $0<q<1$, all'aumentare di $n$ la somma di $n$ numeri aumenta ma di una quantità sempre più piccola e la successione delle somme parziali tende ad un valore definito.

All'aumentare di $n$ i valori di $S_n$ formano una successione, se questa successione converge ad un valore $S_{\mathrm{\infty }}$ allora la serie è un valore non infinito.

per quanto esposto nel paragrafo precedente:

$S_1=a_0,S_2=a_0\cdot \frac{q^2-1}{q-1},S_3=a_0\cdot \frac{q^3-1}{q-1},S_4=a_0\cdot \frac{q^4-1}{q-1},...$

Poiché $q$ è compresa tra zero e uno, al crescere di $n$, $q^n$ conta sempre meno quindi più $n$ cresce, più $S_n$ si avvicina a $a_0\cdot \frac{1}{1-q}$ e per $n=\mathrm{\infty }$:

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a_0}{1-q}$

Il prodotto di $n$ termini consecutivi di una successione

Tutti i ragionamenti fatti per trovare la somma di un certo numero di termini consecutivi di una successione aritmetica, possono essere applicati allo stesso modo per calcolare il prodotto di un certo numero consecutivo di termini di una successione geometrica con $q>0$ cambiando l'addizione con la moltiplicazione, la moltiplicazione con la potenza e la divisione con la radice. La formula:

$S_n=\frac{(a_p+a_u)n}{2}$

per le progressioni aritmetiche diventa per, le progressioni geometriche:

$P_n=\sqrt{{\left(a_p{a}_u\right)}^n}$

Esercizi: Definizione

1. Di seguito sono riportati i primi termini di una successione, riporta una regola ricorsiva che permetta di costruirla e prosegui la successione con alcuni altri termini.

1. i numeri pari: $0,2,4,6,8,10,12,...$
2. i numeri dispari: $1,3,5,7,9,11,13,...$
3. i multipli di 5: $0,5,10,15,20,...$
4. $7,9,11,13,15,...$
5. $16,23,30,37,44,...$
6. $0,-2,-4,-6,-8,...$
7. $7,4,1,-2,-5,...$
8. $5,10,20,40,80,...$
9. $4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...$
10. $0,-2,+2,-6,+10,...$
11. Inventa e aggiungi un esercizio prima di questo, ricordati di aggiungere anche la soluzione.

2. Di seguito sono riportati i primi termini di una successione, scrivi la funzione di dominio $\mathbb{N}$ che abbia come primi valori quei numeri.

1. i numeri pari: $0,2,4,6,8,10,12,...$
2. i numeri dispari: $1,3,5,7,9,11,13,...$
3. i multipli di 5: $0,5,10,15,20,...$
4. $7,9,11,13,15,...$
5. $16,23,30,37,44,...$
6. $0,-2,-4,-6,-8,...$
7. $7,4,1,-2,-5,...$
8. $5,10,20,40,80,...$
9. $4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},...$
10. $4,1,0,1,4,9,...$
11. Inventa e aggiungi un esercizio prima di questo, ricordati di aggiungere anche la soluzione.

3. Scrivi i primi 10 termini delle seguenti successioni e riporta i valori in un piano cartesiano.

1. $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=0\\ & a_n=2a_{n-1}-1\end{array}\end{array}$
2. $a_n=n^2-2n$
3. $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=0\\ & a_n=-a_{n-1}-3\end{array}\end{array}$
4. $a_n=n^2-4n-4$
5. $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=1\\ & a_n=n{a}_{n-1}\end{array}\end{array}$
6. $a_n={(-1)}^{n}n$
7. $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=0\\ & a_n=\frac{a_{n-1}}{2-a_{n-1}}\end{array}\end{array}$
8. $a_n=0.01\cdot {(-2)}^n$
9. $\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& a_0=1\\ & a_n={(-1)}^n\frac{4\cdot a_{n-1}}{n}\end{array}\end{array}$
10. $a_n=4sin\left(n\frac{\pi }{4}\right)$
11. Inventa e aggiungi un esercizio prima di questo, ricordati di aggiungere anche la soluzione.

Esercizi: Caratteristiche

1. Studia l'andamento e il limite delle seguenti successioni.

1. $a_n=n^3$
2. $a_n=-3^n$
3. $a_n={(-3)}^n$
4. $a_n={\left(\frac{4}{5}\right)}^n$
5. $a_n={(-\frac{4}{5})}^n$
6. $a_n={(-1)}^n{\left(\frac{4}{5}\right)}^n$
7. $a_n=\frac{3n}{n+3}$
8. $a_n=\frac{n^2}{n+3}$
9. $a_n=\frac{10n}{n^2+n+3}$
10. $a_n={\left(\frac{4}{n}\right)}^{n}pern\in N^0$
11. $a_n={(-\frac{4}{n})}^{n}pern\in N^0$
12. $a_n=n\sin \frac{n\pi }{6}$
13. Inventa e aggiungi un esercizio prima di questo, ricordati di aggiungere anche la soluzione.

Esercizi: Progressioni aritmetiche

1. Riconosci le progressioni aritmetiche e individua la ragione.

1. $1,4,7,10,13,$
2. $1,2,4,8,16,$
3. $1,4,2,5,3,$
4. $1,2,4,6,8,$
5. $-0.9,-0.5,-0.1,0.3,0.7,$
6. $1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},4,$
7. $9,4,-1,-6,-11,$
8. $1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,$
9. $10,1,0.1,0.01,0.001,$
10. $5,5.2,5.4,5.6,5.8,6,$
11. Inventa e aggiungi un esercizio prima di questo, ricordati di aggiungere anche la soluzione.

Esercizi: Progressioni geometriche

1. Riconosci le progressioni geometriche e individua la ragione.

1. $1,4,7,10,13,$
2. $1,2,4,8,16,$
3. $1,4,2,5,3,$
4. $1,2,4,6,8,$
5. $-0.9,-0.5,-0.1,0.3,0.7,$
6. $1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},4,$
7. $9,4,-1,-6,-11,$
8. $1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,$
9. $10,1,0.1,0.01,0.001,$
10. $5,5.2,5.4,5.6,5.8,6,$
11. Inventa e aggiungi un esercizio prima di questo, ricordati di aggiungere anche la soluzione.

Collegamenti esterni

• Chi ha paura della matematica? - Progressioni aritmetiche
• Chi ha paura della matematica? - Progressioni geometriche

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