Meccanica analitica/Cinematica relativistica

Come abbiamo accennato nel precedente paragrafo, possiamo descrivere le linee di universo come funzioni del tempo proprio $\tau$. Ora iniziamo a fare considerazioni di meccanica relativistica, introducendo le grandezze fondamentali con le quali si studiano eventi nello spazio di Minkowsky. Breve precisazione di notazione: l'indice $i$ sulle coordinate dei quadrivettori indica tutte le coordinate, quindi $i=0,1,2,3$, al contrario, l'indice $\alpha$ indica solo le coordinate spaziali, ovvero $\alpha =1,2,3$.

Notiamo che la quadrivelocità non può essere di genere spazio: se così fosse, infatti, avremmo che la sua norma $|\underset{\_}{U}|>c$ supera la velocità della luce, e non è possibile. Risulta quindi essere un vettore di tipo tempo e, quindi, interno al cono di luce.

Data la velocità classica di coordinate $v_{\alpha }=v_x,v_y,v_z$, scriviamo le coordinate del vettore $\underset{\_}{U}$ in funzione di queste. Ricordiamo la relazione delle trasformazioni di Lorentz:

$dt=\frac{d\tau }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow d\tau =dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Da questo, sostituendo il valore trovato di $d\tau$ nella definizione di quadrivelocità, otteniamo:

$U_i=\frac{d{x}_i(\tau )}{d\tau }=\frac{d{x}_i(\tau )}{dt}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\{\begin{array}{cc}& U_0=\frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ & U_{\alpha }=\frac{v_{\alpha }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}$

Inoltre, la norma quadra della quadrivelocità risulta essere costante:

$\begin{array}{cc}|\underset{\_}{U}{|}^2& =U_0^2-U_1^2-U_2^2-U_3^2={\left(\frac{d(ct)}{d\tau }\right)}^2-{\left(\frac{dx}{d\tau }\right)}^2-{\left(\frac{dy}{d\tau }\right)}^2-{\left(\frac{dz}{d\tau }\right)}^2=\\ & =\frac{(c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2)}{d{\tau }^2}=\frac{d{s}^2}{d{\tau }^2}=c^2\frac{d{\tau }^2}{d{\tau }^2}=c^2\end{array}$

Come anticipato, quindi, la norma quadra è costante, positiva, e quindi la quadrivelocità è un vettore di genere tempo in ogni sistema di riferimento inerziale.

La scelta di definire la quadrivelocità è portata dall'utilizzo delle trasformazioni di Lorentz. La matrice di trasformazione, infatti, è una matrice $4\times 4$, mentre la velocità classica è un vettore in tre coordinate spaziali. Inoltre, la comodità di lavorare in uno spazio quadri-dimensionale rende comodo lo studio di come variano tempo e spazio lungo tutto lo spazio.

Notiamo che, posto $U_{\alpha }=\frac{v_{alpha}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, possiamo esplicitare le componenti $A_{\alpha }$ della quadriaccelerazione:

$\begin{array}{cc}{A}_{\alpha }& =\frac{d{U}_{\alpha }}{d\tau }=\frac{d{U}_{\alpha }}{dt}\frac{dt}{d\tau }=\\ & =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(\frac{\frac{d{v}_{\alpha }}{dt}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+v_{\alpha }(-\frac{1}{2}){(1-\frac{v_{\alpha }^2}{c^2})}^{-\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{c^2}\frac{d{v}_{\alpha }{v}_{\alpha }}{dt})=\\ & =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(\frac{a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{v_{\alpha }^2}{c^2}\frac{a}{\sqrt{{(1-\frac{v_{\alpha }^2}{c^2})}^2}})\end{array}$

In relatività, si usa passare a due parametri noti, $\beta$ e $\gamma$, che valgono:

$\beta =\frac{v}{c}\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$

Utilizzando questi parametri, l'espressione qui sopra può essere scritta in forma più elegante (come molte altre espressioni della teoria).

Paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è un semplice esperimento mentale proposto da Einstein. Alla luce di ciò che abbiamo detto finora, potrà essere chiaro.

Il problema è semplice: due gemelli vengono messi su due astronavi e sottoposti agli stessi effetti accelerativi (ovvero subiscono le stesse variazioni di velocità), solo che uno dei due trascorre nello spazio più tempo, viaggiando a velocità più elevate di quelle della Terra. Quindi, un gemello atterra prima dell'altro e, una volta arrivati entrambi a terra, confrontano i loro tempi propri: il risultato finale è che, essendo stato uno dei due più tempo nello spazio a velocità elevate, questo sarà più giovane del fratello. Template:Avanzamento