Meccanica analitica/Funzione principale di Hamilton

Trattiamo adesso un argomento che termina lo studio variazionale fatto finora; potrà sembrare inconcludente a una prima occhiata, ma più avanti nel corso torneremo a trattare questo argomento specificamente.

Dato il funzionale azione ampliata:

$A^{\prime }[q,p]=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}dt(\sum _{h=1}^n{p}_h{\dot{q}}_h-H(q/p/t))$

Sappiamo essere funzione delle traiettorie $q(t)$ e dei rispettivi momenti coniugati $p(t)$. Sappiamo anche che, scelte traiettorie e momenti coniugati che soddisfano le equazioni canoniche, questo funzionale resta stazionario. Proprio da questo punto partiamo, per modificare il funzionale in una funzione. Scegliamo, appunto, non traiettorie $q(t)$ e $p(t)$ arbitrarie, bensì scegliamo proprio quelle che minimizzano l'azione ampliata. A questo punto, $A^{\prime }$ non è più un funzionale, ma diventa un numero reale preciso. Tuttavia, questo può essere fatto variare, in particolare rendendolo funzione di diverse variabili. Come variabili particolari scegliamo $q_0,q_1,t_0,t_1$, ovvero posizioni e tempi iniziali e finali. Ottengo quella che viene definita come funzione principale di Hamilton:

$S(q_0,t_0,q_1,t_1)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}d\tau (\sum _{h=1}^n{p}_h{\dot{q}}_h-H(q/p/t))$

Questa è una funzione di quattro variabili che deriva direttamente dall'azione ampliata: semplicemente, si varia il valore dell'azione ampliata variando posizioni e tempi iniziali e finali. Quali equazioni deve soddisfare questa funzione? Vediamole, variando una a una le variabili.

Partiamo variando $\delta q$, esprimiamo $\delta S$ in funzione di $\delta q$.

$\delta S=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}d\tau (\delta p\dot{q}+p\delta \dot{q}-\frac{\partial H}{\partial q}\delta q-\frac{\partial H}{\partial p}\delta p)$

Come ci siamo abituati, integriamo per parti il termine $p\delta \dot{q}$:

$p\delta q{|}_{t_0}^{t_1}-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}[\delta p(\dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p})-\delta q(-\dot{p}-\frac{\partial H}{\partial q})]d\tau$

Le variabili $p$ e $q$ non sono arbitrarie, sono quelle che minimizzano l'azione ampliata e che rispettano le equazioni canoniche, quindi tutto il termine integrando è identicamente nullo, quindi otteniamo che:

$\delta S=p\delta q{|}_{t_0}^{t_1}=p\delta q(t)-p_0\delta q_0$

Da questo risultato ottengo già le prime due relazioni:

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial S}{\partial q}=p\\ & \frac{\partial S}{\partial q_0}=-p_0\end{array}$

Adesso facciamo variare $\delta t$; vediamo l'espressione $\delta S$. Per il teorema fondamentale del calcolo vale:

$\frac{dS}{dt}=\frac{\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d\tau (p\dot{q}-H)}{dt}=p\dot{q}-H$

Un altro modo di esprimere $\delta S$ è quello di calcolare la derivata totale:

$\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial q}\dot{q}$

Utilizzando le espressioni già trovate, avendo $\frac{\partial S}{\partial q}=p$, vale:

$\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+p\dot{q}$

Ora uguagliamo questa espressione con quella ottenuta sfruttando il teorema fondamentale del calcolo:

$\frac{\partial S}{\partial t}+p\dot{q}=p\dot{q}-H$

Otteniamo quindi la terza espressione: $\frac{\partial S}{\partial t}=-H$

Ora facciamo variare $\delta t_0$; come prima, per il teorema fondamentale del calcolo vale:

$\frac{dS}{d{t}_0}=\frac{\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d\tau (p\dot{q}-H)}{d{t}_0}=-\frac{\underset{t}{\overset{t_0}{\int }}d\tau (p\dot{q}-H)}{d{t}_0}=-p\dot{q}+H(q_0,p_0,t_0)$

Calcolando esplicitamente la derivata totale, invece:

$\frac{dS}{d{t}_0}=-\frac{\partial S}{\partial t_0}+\frac{\partial S}{\partial q_0}{\dot{q}}_0$

Sfruttando le equazioni prima ottenute $\frac{\partial S}{\partial q_0}=-p_0$, otteniamo:

$\frac{dS}{d{t}_0}=\frac{\partial S}{\partial q_0}-p_0{\dot{q}}_0$

Uguagliando le due espressioni trovate:

$-p_0{\dot{q}}_0+H(q_0,p_0,t_0)=\frac{\partial S}{\partial t_0}-p_0{\dot{q}}_0$

Ottenendo l'ultima espressione cercata: $\frac{\partial S}{\partial t_0}=H(q_0,p_0,t_0)$.

Le espressioni che abbiamo ottenuto sono le seguenti e vengono chiamate equazioni di Hamilton-Jacobi:

$|\begin{array}{cc}& \frac{\partial S}{\partial q}=p\\ \\ & \frac{\partial S}{\partial q_0}=-p_0\\ \\ & \frac{\partial S}{\partial t}=-H(q,p,t)\\ \\ & \frac{\partial S}{\partial t_0}=H(q_0>,p_0,t_0)\end{array}$

Queste espressioni ci permettono di studiare l'evoluzione della funzione principale di Hamilton al variare delle sue variabili; come notiamo, per poter conoscere la funzione dobbiamo prima conoscere $q(t)$ e $p(t)$, perché sappiamo che queste sono quelle particolari variabili che minimizzano l'azione. Template:Avanzamento