Meccanica analitica/Parentesi di Poisson

Date due funzioni $f(q/p/t)$ e $g(q/p/t)$, si definisce la parentesi di Poisson tra $f$ e $g$:

$[f,g]=\sum _{h=1}^n(\frac{\partial f}{\partial q_h}\frac{\partial g}{\partial p_h}-\frac{\partial f}{\partial p_h}\frac{\partial g}{\partial q_h})$

L'espressione qui sopra si legge f poisson g. Questo elemento ha particolare importanza nella meccanica hamiltoniana, come vedremo nel prossimo modulo. Introduciamo intanto le tre proprietà delle parentesi di Poisson.

• Antisimmetria. Le parentesi di Poisson rispettano la proprietà dell'antisimmetria; infatti:

$[g,f]=\sum _{h=1}^n(\frac{\partial g}{\partial q_h}\frac{\partial f}{\partial p_h}-\frac{\partial g}{\partial p_h}\frac{\partial f}{\partial q_h})=-[f,g]$

• Bilinearità. Le parentesi di Poisson sono bilineari, ovvero valgono:

$\begin{array}{cc}& \alpha [f,g]=[\alpha f,g]=[f,\alpha g]\\ & [(f_1+f_2),g]=[f_1,g]+[f_2,g]\\ & [f,(g_1+g_2)]=[f,g_1]+[f,g_2]\end{array}$

• Rispettano l'identità di Jacobi, per tre funzioni $f,g,h$:

$[[f,g],h]+[[h,f],g]+[[g,h],f]=0$

Le parentesi di Poisson sono quindi un'operazione, dotata di proprietà, tra funzioni di variabili hamiltoniane. Quest'operazione fornisce quindi una struttura al formalismo hamiltoniano, ed è una struttura di tipo simplettico (si parla infatti di "strutta simplettica della meccanica hamiltoniana"). Vediamo adesso alcune caratteristiche principali delle parentesi di Poisson.

Siamo $q_k$ e $q_h$ indipendenti tra loro, e valga lo stesso per $p_k$ e $p_h$; allora vale:

$[q_h,q_k]=\sum _{l=1}^n(\frac{\partial q_h}{\partial p_l}\frac{\partial q_k}{\partial p_l}-\frac{\partial q_h}{\partial p_l}\frac{\partial q_k}{\partial q_l})={\delta }_{lh}\cdot 0-0\cdot {\delta }_{kl}=0$

Lo stesso risultato si ottiene per $[p_h,p_k]$; i ${\delta }_{lh}$ sono i delta di Kronecker, che valgono 1 se gli indici sono uguali ($h=l$), valgono invece 0 in tutti gli altri casi. Consideriamo ora:

$[q_h,p_k]=\sum _{l=1}^n(\frac{\partial q_h}{\partial q_l}\frac{\partial p_h}{\partial l}-\frac{\partial q_h}{\partial p_l}\frac{\partial p_h}{\partial q_l})={\delta }_{hl}\cdot {\delta }_{kl}={\delta }_{hk}$

Questo è molto interessante perché $[q_h,p_k]$ vale 1 quando gli indici sono uguali, sono nulle in tutti gli altri casi.

Vediamo adesso come le equazioni canoniche di Hamilton riflettano la struttura simplettica del formalismo hamiltoniano; calcoliamo infatti:

$[q_h,H]=\sum _{l=1}^n(\frac{\partial q_h}{\partial q_l}\frac{\partial H}{\partial p_l}-\frac{\partial q_h}{\partial p_h}\frac{\partial H}{\partial q_l})={\delta }_{hl}\frac{\partial H}{\partial p_l}{\to }^{h=l}\frac{\partial H}{\partial p_h}$

Che riflette la legge $\dot{q_h}=\frac{\partial H}{\partial p_h}$; allo stesso modo:

$[p_h,H]=\sum _{l=1}^n(\frac{\partial p_h}{\partial q_l}\frac{\partial H}{\partial p_l}-\frac{\partial p_h}{\partial p_l}\frac{\partial H}{\partial q_l})=-{\delta }_{hl}\frac{\partial H}{\partial q_l}{\to }^{h=l}-\frac{\partial H}{\partial q_h}$

Che riflette la legge $\dot{p_h}=-\frac{\partial H}{\partial q_h}$.

Un'altra utile applicazione delle parentesi di Poisson è che è possibile esprimere le derivate totali tramite questo strumento; vediamo come, data $x(q/p/t)$:

$[x,H]+\frac{\partial x}{\partial t}=\sum _{h=1}^n(\frac{\partial x}{\partial q_h}\underset{\dot{q_h}}{\underbrace{\frac{\partial H}{\partial p_h}}}-\frac{\partial x}{\partial p_h}\underset{-\dot{p_h}}{\underbrace{\frac{\partial H}{\partial q_h}}})+\frac{\partial x}{\partial t}=\sum _{h=1}^n(\frac{\partial x}{\partial q_h}\dot{q_h}+\frac{\partial x}{\partial p_h}\dot{p_h})+\frac{\partial x}{\partial t}=\dot{x}$

Un modo di esprimere la derivata totale è quindi $\dot{x}=[x,H]+\frac{\partial x}{\partial t}$ e, in alcuni casi, è anche un metodo più semplice per calcolarla. Template:Avanzamento