Meccanica dei fluidi/Legge di Bernoulli

Studiamo ora una legge che leghi le varie grandezze che scrivono il moto di un fluido. Prendiamo un tubo di flusso compreso tra due superfici $A_1$ e $A_2$; le due superfici sono prese abbastanza piccole da poter trascurare la differenza di quota agli estremi delle superfici, quindi avremo che $z_1$ e $z_2$ descrivono la quota complessiva di tutte e due le superfici; però esse hanno quota diversa, quindi $z_1<z_2$.

Il fluido è in moto stazionario; nell'istante $t+dt$, esso si è spostato nel tubo, e si troverà ora compreso tra due superfici ${A_1}^{\prime }$ e ${A_2}^{\prime }$. Calcoliamo il lavoro compiuto dalle forze.

Le forze che agiscono sul fluido sono:

• ${\overrightarrow{F}}_P$, la forza peso;
• ${\overrightarrow{F}}_1$ e ${\overrightarrow{F}}_2$, le forze di pressione che il fluido esercita sulle due superfici agli estremi del tubo. Poiché il fluido è in moto, anche queste compiono lavoro.

Possiamo esprimere le due forze di pressione come:

$F_1=P_1{A}_1{F}_2=P_2{A}_2$

La forza $F_1$ compirà lavoro positivo, poiché lo spostamento è concorde al verso della forza; al contrario, la forza $F_2$ compirà lavoro negativo, perché lo spostamento è di verso discorde con quello della forza. Possiamo calcolare il lavoro delle forze di pressione, che sarà uguale a:

$d{L}_{\text{pressione}}=P_1{A}_{1}d{l}_1-P_2{A}_{2}d{l}_2$

Il lavoro della forza peso sarà invece:

$d{L}_{\text{peso}}=-dmg(z_2-z_1)=dmg(z_1-z_2)$

Notiamo che il lavoro della forza peso è negativo perché c'è stato un aumento di quota. Possiamo allora scrivere il lavoro totale compiuto dal sistema:

$d{L}_{\text{tot}}=P_1{A}_{1}d{l}_1-P_2{A}_{2}d{l}_2+dmg(z_1-z_2)$

Possiamo scrivere $dm=\rho dV$ e $dV=Adl$, avremo quindi che $\rho A_{1}d{l}_1=\rho A_{2}d{l}_2$. Possiamo scrivere tutto in funzione di $\frac{dm}{\rho }=A_{1}d{l}_1=A_{2}d{l}_2$. Andiamo a sostituire nell'espressione del lavoro

$d{L}_{\text{tot}}=dm[\frac{P_1-P_2}{\rho }+g(z_1-z_2)]$

Adesso applico il teorema dell'energia cinetica, poiché il fluido ha velocità, quindi il lavoro totale corrisponde alla variazione di energia cinetica:

$\begin{array}{cc}& d{L}_{\text{tot}}=dK=\frac{1}{2}dm{v}_2^2-\frac{1}{2}dm{v}_1^2\\ & \frac{P_1}{\rho }+g{z}_1+\frac{1}{2}{v}_1^2=\frac{P_2}{\rho }+g{z}_2+\frac{1}{2}{v}_2^2\\ & P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{ cost}\end{array}$

Questa espressione è anche conosciuta come legge di Bernoulli.

Effetto Venturi

Un caso particolare della legge di Bernoulli è il cosiddetto effetto Venturi. Consideriamo un fluido perfetto in moto stazionario in un tubo orizzontale, la cui sezione si restringa. Sappiamo che la portata si conserva, quindi:

$A_1{v}_1=A_2{v}_2$

Ovvero se $A_2<A_1$ avremo $v_2>v_1$. Applico la legge di Bernoulli:

$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$

Se $v_2>v_1$, ne consegue allora che $P_1>P_2$. Questo fenomeno è largamente utilizzato, come ad esempio nella forma delle ali di un aeroplano: esse infatti permettono alla velocità del fluido di avere valori diversi sopra e sotto le ali, producendo una variazione di pressione che spinge l'aereo verso l'alto. Un esempio più comune è quello del foglio di carta: prendete un qualsiasi foglio di carta non rigida, tenetelo saldo davanti alla bocca, poi soffiate sulla superficie verticale. Produrrete una variazione di pressione che spingerà il foglio verso l'alto.