Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Pendolo fisico

Nella meccanica del punto materiale abbiamo già parlato del pendolo, trattando in quel caso un semplice punto materiale appeso a un filo. Nella realtà, però, abbiamo a che fare con strumenti ben diversi, con caratteristiche fisiche ben diverse che non possono essere approssimabili a punti materiali: trattiamo qui di pendoli fisici, ovvero di oggetti che pendolano.

Qualsiasi oggetto può comportarsi da pendolo fisico; l'esempio più immediato, e rilevante per confronto con il pendolo semplice, è una sbarretta omogenea che può ruotare attorno a un estremo. La variabile che descrive il moto del corpo è l'angolo $\theta$ che la sbarretta forma con la verticale, quindi il problema presenta un solo grado di libertà. Come verso positivo, scegliamo l'angolo che forma a destra della verticale.

Le forze agenti sul corpo sono la reazione del vincolo $\overrightarrow{R}$, che è applicata al perno attorno al quale ruota il corpo; non conosciamo nulla di questa forza, ne modulo, ne direzione o verso. Conosciamo invece la forza peso $M\overrightarrow{g}$ applicata al centro di massa della sbarretta, ovvero al centro geometrico, e diretta verso il basso. Per studiare il moto sfruttiamo la seconda legge cardinale dei sistemi, scegliendo come polo il punto $O$ attorno al quale la sbarretta ruota. Avremo quindi:

${\overrightarrow{\tau }}^{ext}=\overrightarrow{r_1}\wedge M\overrightarrow{g}+\overrightarrow{r_2}\wedge \overrightarrow{R}=\overrightarrow{r_1}\wedge M\overrightarrow{g}$

Avendo scelto come polo $O$ il braccio della forza vincolare è nullo e non contribuisce quindi al momento. Il fattore $\overrightarrow{r_1}\wedge M\overrightarrow{g}$ ha invece modulo:

$|\overrightarrow{r_1}\wedge M\overrightarrow{g}|=\frac{l}{2}Mg\sin \theta$

La distanza dal polo del centro di massa è infatti metà sbarretta, e l'angolo formato tra il braccio e la forza peso è lo stesso che l'asta forma con la verticale. Notiamo inoltre che il momento è di richiamo: per angoli positivi esso assume segno negativo e l'asta ruota in senso orario, tendendo a tornare alla posizione d'equilibrio; analogamente, per angoli negativi ha verso positivo, l'asta ruota in senso antiorario e torna sempre verso la posizione di equilibrio. La componente lungo l'asse $z$ sarà quindi:

${\tau }_z=-\frac{l}{2}Mg\sin \theta$

Applichiamo ora la legge cardinale:

${\tau }_z=\frac{dJ}{dt}=I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\Rightarrow I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{l}{2}Mg\sin \theta$

Otteniamo l'espressione:

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{lMg}{2I}\sin \theta =0$

Per angoli piccoli approssimiamo $\sin \theta \approx \theta$, ottenendo l'equazione differenziale di un oscillatore armonico:

$\ddot{\theta }+\frac{lMg}{2I}\theta =0$

La pulsazione del moto sarà $\omega =\sqrt{\frac{lMg}{2I}}$, mentre la soluzione del problema è data dall'equazione:

$\theta (t)={\theta }_{MAX}\sin (\omega t+\phi )$

Ricordiamo che il momento d'inerzia di una sbarretta ruotante attorno a un asse passante per l'estremo è $I=\frac{M{l}^2}{3}$; sostituendolo nell'espressione della pulsazione:

$\omega =\sqrt{\frac{l}{2}\frac{M}{M{l}^2}3g}=\sqrt{\frac{3}{2}\frac{g}{l}}$

Che è molto simile a quella ottenuta per il pendolo semplice, che ricordiamo essere $\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$.

Pendolo fisico a cono

Come per il pendolo semplice, anche per il pendolo fisco può esserci il caso in cui l'oggetto non oscilli bensì ruoti attorno a una quota fissa, mantenendo l'angolo $\theta$ con la verticale costante. Le forze agenti restano sempre $\overrightarrow{R}$, reazione vincolare, e $M\overrightarrow{g}$, forza peso, applicata al centro della sbarretta. Come polo scegliamo anche questa volta il punto di vincolo $O$, per cui la reazione vincolare non contribuisce al momento in questo caso. Quindi sarà:

${\overrightarrow{\tau }}^{ext}=\overrightarrow{r}\wedge M\overrightarrow{g}$

In modulo avremo che $\tau =\frac{l}{2}Mg\sin \theta$. Per il momento angolare, invece:

$\overrightarrow{J}=\int \overrightarrow{r}\wedge dm\overrightarrow{v}\Rightarrow |\overrightarrow{J}|=\underset{0}{\overset{l}{\int }}rdmv=\lambda \underset{0}{\overset{l}{\int }}rdrv$

Però, come già sappiamo, questo procedimento porta a

$|\overrightarrow{J}|=I\omega =(\frac{M{l}^2}{3}\sin \theta )\omega$

La componente verticale del momento angolare sarà data da $J_z=J\sin \theta =\frac{M{l}^2}{3}{\sin }^2\theta \omega$

Il momento delle forze esterne, in modulo, è uguale a $|\overrightarrow{\tau }|=\left|\frac{d\overrightarrow{J}}{dt}\right|=J_z\omega =\frac{M{l}^2}{3}{\sin }^2\theta {\omega }^2$; uguagliandolo al momento sopra calcolato:

$\frac{M{l}^2}{3}{\sin }^2\theta {\omega }^2=\frac{l}{2}Mg\sin \theta \Rightarrow {\omega }^2=\frac{3}{2}\frac{g}{l\sin \theta }$