Meccanica del punto materiale/Moto parabolico dei corpi

Il moto parabolico è un moto bidimensionale, combinazione di due moti rettilinei simultanei e indipendenti (non si influenzano), uno rettilineo uniforme e uno uniformemente accelerato.

Prendiamo il moto di un proiettile lanciato con velocità $V_0$ e angolo $\theta$ all'origine. In questo caso il proiettile subisce accelerazione costante lungo l'asse $y$ per effetto della forza di gravità, mentre sull'asse $x$ il moto è uniforme in quanto non agiscono forze e non vi è accelerazione. Vediamo dunque che si tratta di un esempio di moto parabolico.

Condizioni iniziali:

$\{\begin{array}{cc}& X_0=0\\ & y_0=0\\ \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& V_{0x}=V_0\cos \theta \\ & V_{0y}=V_0\sin \theta \\ \end{array}$

Scomposizione del moto:

$\{\begin{array}{cc}& x(t)=x_0+V_{0x}t\\ & y(t)=V_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2\\ \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x(t)=V_0\cos \theta \cdot t[1]\\ & y(t)=V_{0}sin\theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2[2]\\ \end{array}$

Traiettoria

Ricavo $t$ dalla [1] e lo sostituisco nella [2] per avere $y(x)$:

$t=\frac{x}{V_0\cos \theta };$

$y(x)=V_0\sin \theta \frac{x}{V_0\cos \theta }-\frac{g}{2}\cdot \frac{x^2}{V_0^2{\cos }^2\theta };$

$y(x)=\tan \theta x-\frac{g}{2}\frac{x^2}{V_0^2{\cos }^2\theta }$

Gittata

Pongo $y(x)=0$ per ricavare lo spazio totale percorso orizzontalmente (e, dunque, la gittata):

$\tan \theta x-\frac{g}{2}\frac{x^2}{V_0^2{\cos }^2\theta }=0;$

$\frac{V_0\sin \theta x}{V_0\cos \theta }-\frac{g{x}^2}{2V_0^2{\cos }^2\theta }=0$

$\frac{2\sin \theta \cos \theta V_0^{2}x-g{x}^2}{2V_0^2{\cos }^2\theta }$

Dato che $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$:

$x(V_0^2\sin 2\theta -gx)=0$

Per la legge di annullamento del prodotto, ricavo:

$x=0$

che è la posizione del punto di lancio, e

$x=\frac{\sin 2\theta \cdot V_0^2}{g}$

che rappresenta la gittata.

Quota massima

Per ricavare la massima quota $y_{max}$ sostituisco $t_{imp}$ nella [2]:

$y_{max}=\frac{V_{0y}^2}{2g}=\frac{V_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$