Meccanica del punto materiale/Teorema delle accelerazioni relative

Nel modulo precedente abbiamo visto come varia la descrizione della velocità di un punto osservato in diversi sistemi di riferimento. Il passo successivo è naturalmente osservare cosa accade per l'accelerazione. L'accelerazione del punto $P$ rispetto al sistema fisso è

$\overrightarrow{a}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\hat{i}+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\hat{j}+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\hat{k}$

L'accelerazione di $P$ misurata dal sistema mobile è

$\overrightarrow{a}\text{'}=\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^2}\widehat{i^{\prime }}+\frac{d^2{y}^{\prime }}{d{t}^2}\widehat{j^{\prime }}+\frac{d^2{z}^{\prime }}{d{t}^2}\widehat{k^{\prime }}$

Infine, l'accelerazione dell'origine $O^{\prime }$ rispetto a $O$ è

${\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}=\frac{d{\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}}{dt}$

Andiamo ora a derivare rispetto al tempo il teorema delle velocità relative

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d{\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}}{dt}+\frac{d{\overrightarrow{v}}^{\prime }}{dt}+\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times \frac{d{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{dt}$

Calcoliamo $d{\overrightarrow{v}}^{\prime }/dt$:

$\frac{d{\overrightarrow{v}}^{\prime }}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d{x}^{\prime }}{dt}\widehat{i^{\prime }}+\frac{d{y}^{\prime }}{dt}\widehat{j^{\prime }}+\frac{d{z}^{\prime }}{dt}\widehat{k^{\prime }})=\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^2}\widehat{i^{\prime }}+\frac{d^2{y}^{\prime }}{d{t}^2}\widehat{j^{\prime }}+\frac{d^2{z}^{\prime }}{d{t}^2}\widehat{k^{\prime }}+$

$+\frac{d{x}^{\prime }}{dt}\frac{d\widehat{i^{\prime }}}{dt}+\frac{d{y}^{\prime }}{dt}\frac{d\widehat{j^{\prime }}}{dt}+\frac{d{z}^{\prime }}{dt}\frac{d\widehat{k^{\prime }}}{dt}$

Ricordando ora che la derivata del versore si può scrivere come prodotto vettoriale tra $\omega$ e il versore possiamo scrivere

$\frac{d{\overrightarrow{v}}^{\prime }}{dt}={\overrightarrow{a}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }$

Dal modulo precedente sappiamo poi che

$\frac{d{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{dt}=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}={\overrightarrow{v}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }<math>quindi<math>\overrightarrow{\omega }\times \frac{d{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{dt}=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })$

Pertanto l'equazione che lega le accelerazioni misurate in due sistemi di riferimento in moto relativo è:

$\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{\prime }+{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })+\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }+2\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }$

che esprime il teorema delle accelerazioni relative.

Quindi l'accelerazione che misura un osservatore del sistema mobile è

$\overrightarrow{a}\text{'}=\overrightarrow{a}-{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}-\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })-\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }-2\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }$

Il termine

${\overrightarrow{a}}_t={\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}-\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime })-\frac{d\overrightarrow{\omega }}{dt}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

si chiama accelerazione di trascinamento, mentre l'ultimo termine

${\overrightarrow{a}}_c=-2\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}^{\prime }$

si chiama accelerazione di Coriolis, di cui parleremo ampiamente nel modulo sulle forze apparenti.