Meccanica del punto materiale/Teorema delle velocità relative

Il concetto stesso di moto è un concetto relativo. Se una mamma porta il figlio nel passeggino, il bambino avrà per esempio una velocità di 2 m/s rispetto al marciapiede, ma avrà velocità nulla rispetto al passeggino. In generale, in due sistemi di riferimento in moto relativo il moto di un punto materiale viene descritto con leggi diverse. Consideriamo dunque due sistemi di riferimento, uno fisso, costituito da una terna cartesiana $xyz$ con centro in $O$, e uno mobile, con centro in $O^{\prime }$ e assi $x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$. Il sistema mobile si sposta con velocità ${\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}$ rispetto al sistema fisso, e i suoi assi possono ruotare, cosa che non avviene per il sistema fisso. I due sistemi di riferimento osservano il moto di un punto $P$. Dalla regola di somma tra vettori otteniamo la relazione tra le posizioni del punto $P$, misurate rispetto ai due sistemi di riferimento:

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+{\overrightarrow{r}}^{\prime }(1)$

con

$\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k};{\overrightarrow{r}}^{\prime }=x^{\prime }\widehat{i^{\prime }}+y^{\prime }\widehat{j^{\prime }}+z^{\prime }\widehat{k^{\prime }};\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=x_{O^{\prime }}\hat{i}+y_{O^{\prime }}\hat{j}+z_{O^{\prime }}\hat{k}$

La velocità di $P$ rispetto al sistema fisso è

$\overrightarrow{v}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}$

La velocità di $P$ misurata dal sistema mobile è

$\overrightarrow{v}\text{'}=\frac{d{x}^{\prime }}{dt}\widehat{i^{\prime }}+\frac{d{y}^{\prime }}{dt}\widehat{j^{\prime }}+\frac{d{z}^{\prime }}{dt}\widehat{k^{\prime }}$

Infine, la velocità dell'origine $O^{\prime }$ rispetto al sistema fisso è

${\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}=\frac{d{x}_{O^{\prime }}}{dt}\hat{i}+\frac{d{y}_{O^{\prime }}}{dt}\hat{j}+\frac{d{z}_{O^{\prime }}}{dt}\hat{k}$

Andiamo ora a derivare la (1) rispetto al tempo. Otteniamo

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{O{O}^{\prime }}}{dt}+\frac{d{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{dt}=\frac{d{x}_{O^{\prime }}}{dt}\hat{i}+\frac{d{y}_{O^{\prime }}}{dt}\hat{j}+\frac{d{z}_{O^{\prime }}}{dt}\hat{k}+\frac{d{x}^{\prime }}{dt}\widehat{i^{\prime }}+\frac{d{y}^{\prime }}{dt}\widehat{j^{\prime }}+\frac{d{z}^{\prime }}{dt}\widehat{k^{\prime }}+$

$+x^{\prime }\frac{d\widehat{i^{\prime }}}{dt}+y^{\prime }\frac{d\widehat{j^{\prime }}}{dt}+z^{\prime }\frac{d\widehat{k^{\prime }}}{dt}$

ovvero

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}^{\prime }+{\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}+x^{\prime }\frac{d\widehat{i^{\prime }}}{dt}+y^{\prime }\frac{d\widehat{j^{\prime }}}{dt}+z^{\prime }\frac{d\widehat{k^{\prime }}}{dt}(2)$

I versori, per definizione, hanno modulo costante. Nel nostro caso possono ruotare, diciamo con velocità angolare $\omega$. Quindi possiamo scrivere le loro derivate come

$\frac{d\widehat{i^{\prime }}}{dt}=\overrightarrow{\omega }\times \widehat{i^{\prime }};\frac{d\widehat{j^{\prime }}}{dt}=\overrightarrow{\omega }\times \widehat{j^{\prime }};\frac{d\widehat{k^{\prime }}}{dt}=\overrightarrow{\omega }\times \widehat{k^{\prime }}$

Gli ultimi tre termini della (2) diventano allora

$x^{\prime }(\overrightarrow{\omega }\times \widehat{i^{\prime }})+y^{\prime }(\overrightarrow{\omega }\times \widehat{j^{\prime }})+z^{\prime }(\overrightarrow{\omega }\times \widehat{k^{\prime }})=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

In definitiva abbiamo ottenuto la seguente equazione

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}^{\prime }+{\overrightarrow{v}}_{O^{\prime }}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }$

nota come teorema delle velocità relative: le misure di velocità compiute in sistemi di riferimento in moto rispetto all'altro sono diverse.