Meccanica quantistica/Formalismo

Introduzione allo spazio di Hilbert

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e completo rispetto alla sua norma. Lo spazio di Hilbert che si utilizza per la meccanica quantistica è il cosiddetto spazio $L^2$, che è un caso particolare di spazio di Hilbert, di cui segue una descrizione semplificata. Sia $f$ una funzione da ${ℝ}^n$ a $ℂ$. La funzione $f$ appartiene allo spazio $L^2$ se:

$\underset{{ℝ}^n}{\int }|f{|}^{2}d𝐫$

è un numero (reale) finito (si dice cioè che $f$ è a quadrato integrabile). Se $f$ appartiene a $L^2$, tale quantità si dice norma di $f$. La funzione si dice normalizzata se la sua norma è unitaria. Il prodotto interno (o scalare) dello spazio $L^2$ tra due funzioni $f$ e $g$ è

$⟨f|g⟩=\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}gd𝐫$

Se il prodotto scalare tra due funzioni è nullo, tali funzioni si dicono ortogonali.

Notazione bra-ket

La notazione bra-ket è stata introdotta da Dirac per rappresentare in modo più compatto e leggero le funzioni utilizzate in meccanica quantistica. Se $f$ appartiene allo spazio $L^2$, la si può indicare con la notazione $|f⟩$ (detta ket). La notazione $⟨f|$ (detta bra) corrisponde all'operatore

$\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}\bullet d𝐫$

per cui si avrà:

$⟨f|f⟩=\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}fd𝐫=\underset{{ℝ}^n}{\int }|f{|}^{2}d𝐫$

che è la norma di $f$ e

$⟨f|g⟩=\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}gd𝐫$

è il prodotto scalare tra $f$ e $g$.