Meccanica quantistica/Momento angolare

Operatore momento angolare

Operatore del momento angolare di una particella:

$\widehat{𝐋}=-i\hslash 𝐫\times \mathrm{\nabla }$

Autovalori del quadrato del momento angolare:

${𝐋}^2={\hslash }^{2}l(l+1)(l=0,1,...)$

Autovalori della componente z del momento angolare:

$L_z=\hslash m(m=-l,-l+1,...,l)$

Le autofunzioni comuni agli operatori ${\widehat{𝐋}}^2$ e ${\hat{L}}_z$ sono le armoniche sferiche, $Y_{lm}(\theta ,\phi )$.

Composizione dei momenti angolari

Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari $l_1$ e $l_2$:

${\psi }_{lm}=\sum C_{m_1{m}_2}^{lm}{\psi }_{l_1{m}_1}^{(1)}{\psi }_{l_2{m}_2}^{(2)}$

Le quantità $C_{m_1{m}_2}^{lm}$ sono i coefficienti di Clebsch-Gordan.

Il momento angolare l può assumere soltanto dei valori compresi tra $|l_1-l_2|$ e $l_1+l_2$, e $m=m_1+m_2$.

Tensori sferici

Un tensore sferico è un insieme di quantità $f_{kq}$ che nelle rotazioni si trasformano come le funzioni armoniche sferiche $Y_{kq}$.

A un tensore sferico $f_{kq}$ corrisponde un tensore simmetrico irriducibile di rango k. In particolare, a un tensore sferico $f_{1m}$ corrisponde un vettore f:

$f_{10}=i{f}_z,f_{1,\pm 1}=\mp \frac{i}{\sqrt{2}}(f_x\pm i{f}_y)$

Teorema di Wigner-Eckart

Gli elementi di matrice di un tensore sferico hanno la forma seguente:

$<n^{\prime }{l}^{\prime }{m}^{\prime }|f_{kq}|nlm>=\sum C_{m^{\prime }q}^{lm}<n^{\prime }{l}^{\prime }||f_k||nl>$

dove $<n^{\prime }{l}^{\prime }|f_k|nl>$ sono gli elementi di matrice ridotti, indipendenti da $m$, $m^{\prime }$ e $q$.

Per $k=1$ si ottengono delle espressioni per gli elementi di matrice di un vettore f. Gli elementi di matrice non nulli di $f_z$ corrispondono a delle transizioni $m\to m$, e gli elementi di matrice di $f_x$ e $f_y$ a delle transizioni $m\to m\pm 1$.

Spin

Il momento angolare totale $𝐉$ di una particella è composto dal momento orbitale $𝐋$ e dallo spin $𝐒$ . Il quadrato dello spin ha autovalori ${𝐒}^2={\hslash }^{2}s(s+1)$, dove $s$ può essere un numero intero o semintero. La componente z dello spin ha autovalori $\hslash s_z$, dove $s_z=-s,-s+1,...,s$.

Nel caso di una particella con spin 1/2 (ad esempio un elettrone) $\widehat{𝐒}=\hslash \hat{\mathit{\sigma }}/2$, dove $\hat{\mathit{\sigma }}$ è l'insieme delle matrici di Pauli:

${\hat{\sigma }}_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\hat{\sigma }}_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\hat{\sigma }}_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$