Meccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla

Torniamo ora a considerare la $\psi$ in termini di bispinori $\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]$.

Abbiamo visto che l'equazione in questo caso fornisce per le due componenti:

$\{\begin{array}{cc}i\frac{\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\phi & =\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\chi +mc\phi \\ i\frac{\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\chi & =\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\phi +mc\chi \end{array}$

Cerchiamo ora di disaccoppiare le due equazioni con una opportuna trasformazione unitaria: ${\psi }^{\prime }\mapsto u\psi$ e $\gamma {\text{'}}_{\mu }\to u^{†}{\gamma }_{\mu }u$ in modo che questa lasci l'equazione invariata. Utilizzando le matrici:

$\beta =\left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)\rho =\left(\begin{array}{cc}0& 𝕀\\ 𝕀& 0\end{array}\right)$

e definendo la trasformazione come $u\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta +\rho )$, allora:

$u{u}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\beta +\rho )\frac{1}{\sqrt{2}}(\beta +\rho )=\frac{1}{2}({\beta }^2+\beta \rho +\rho \beta +{\rho }^2)=𝕀+\frac{1}{2}(\beta \rho +\rho \beta )$

Essendo:

$\begin{array}{cc}\beta \rho & =\left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 𝕀\\ 𝕀& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -𝕀\\ 𝕀& 0\end{array}\right)\\ \rho \beta & =\left(\begin{array}{cc}0& 𝕀\\ 𝕀& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 𝕀\\ -𝕀& 0\end{array}\right)\end{array}$

risulta effettivamente $u{u}^{†}=𝕀$ e quindi $u$ è unitaria. Applichiamola quindi alla $\psi$:

${\psi }^{\prime }=u\psi =\frac{1}{\sqrt{2}}(\beta +\rho )\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]$

e denominando ${\psi }^{\prime }\equiv \left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]$, si ricava:

$\{\begin{array}{cc}\xi & =\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi +\chi )\\ \eta & =\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi -\chi )\end{array}$

Operando ora con la trasformazione $u$ anche su $\alpha$, $\beta$:

$\begin{array}{cc}\alpha {\text{'}}_i& =u{\alpha }_i{u}^{†}=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_i& 0\\ 0& -{\sigma }_i\end{array}\right)\\ \beta & =u\beta u^{†}=\left(\begin{array}{cc}0& 𝕀\\ 𝕀& 0\end{array}\right)\end{array}$

e l'equazione diventa:

$i\frac{\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]=\frac{\hslash }{i}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_i& 0\\ 0& -{\sigma }_i\end{array}\right)\cdot \overrightarrow{p}\left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]+\left(\begin{array}{cc}0& 𝕀\\ 𝕀& 0\end{array}\right)mc\left[\begin{array}{c}\xi \\ \eta \end{array}\right]$

ovvero, per le singole equazioni:

$\begin{array}{cc}i\frac{\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\xi & =\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{p}\xi +mc\eta \\ i\frac{\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\eta & =-\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{p}\eta +mc\xi \end{array}$

che si disaccoppiano completamente per particelle a massa zero. Si può tentati di interpretare queste soluzioni come neutrini, ma è stato finalmente dimostrato che queste particelle hanno una massa, anche se estremamente piccola. Quindi, anche per i neutrini queste due equazioni non si disaccoppiano perfettamente, ma "quasi".

Occorre fare attenzione al fatto che questa equazione non vale per particella a massa zero come i fotoni, perché questi ultimi sono a spin 1, mentre l'equazione di Dirac vale solo per particelle a spin semintero $\pm 1/2$.