Meccanica quantistica relativistica/Equazione di Dirac

Tale problema condusse Paul A.M. Dirac nel 1928 a formulare la sua equazione, che fra l'altro porta alla predizione dell'esistenza delle antiparticelle. La situazione in cui il numero delle particelle è una variabile viene detto seconda quantizzazione.

L'equazione che Dirac cercava doveva soddisfare i seguenti requisiti:

1. deve essere lineare (per conservare il principio di sovrapposizione proprio dell'equazione di Schrödinger);
2. deve rispettare la condizione relativistica fra $E$ e $p$, comprendere le derivate di spazio e tempo sullo stesso piano (per avere una formulazione relativistica);
3. deve contenere solo le derivate prime (per non incorrere nel problema dell'equazione di Klein-Gordon);
4. deve tuttavia soddisfare l'equazione di Klein-Gordon $[◻-m^2{c}^2/{\hslash }^2]\psi =0$ (per contenere in sé la relazione relativistica $E^2=p^2+m^2$);
5. deve essere covariante a vista (per conservare l'invarianza per trasformazioni)

Impostiamo quindi una relazione lineare con le derivate prime, imponendo in tal modo i requisiti (1) e (3):

$E=[{\alpha }_1{p}_1+{\alpha }_2{p}_2+{\alpha }_3{p}_3+\beta mc]\psi \Rightarrow [p_4-{\alpha }_1{p}_1-{\alpha }_2{p}_2-{\alpha }_3{p}_3-\beta mc]\psi =0$

I coefficienti ${\alpha }_i$ e $\beta$ sono calcolati imponendo le altre condizioni. Moltiplichiamo infatti la relazione precedente per la sua coniugata $[p_4+{\alpha }_1{p}_1+{\alpha }_2{p}_2+{\alpha }_3{p}_3+\beta mc]$ per imporre le condizioni (2) e (4). Si ottiene allora:

$\begin{array}{c}[p_4^2-p_4\sum _i{\alpha }_i{p}_i-p_4\beta mc+\sum _i{\alpha }_i{p}_i\cdot p_4-\sum _i\sum _j\frac{{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i}{2}{p}_i{p}_j+\\ -\sum _i{\alpha }_i\beta mc{p}_i+\beta mc{p}_4-\beta mc\sum _i{\alpha }_i{p}_i-{\beta }^2{m}^2{c}^2]\psi =0\end{array}$

e tenendo presente che ${\alpha }_i$ e $\beta$ commutano con $p$ (sono in effetti dei coefficienti), si ricava:

$[p_4^2-\sum _i\sum _j\frac{{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i}{2}{p}_i{p}_j-\sum _i({\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i)mc{p}_i-{\beta }^2{m}^2{c}^2]\psi =0$

Siamo giunti quindi a un'equazione del secondo ordine, che deve corrispondere alla relazione relativistica della condizione (4). Esplicitando la componente $p_4$:

$[-\frac{E^2}{c^2}+\sum _i\sum _j\frac{{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i}{2}{p}_i{p}_j+\sum _i({\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i)mc{p}_i+{\beta }^2{m}^2{c}^2]\psi =0$

Per ottenere ora la relazione $E^2=p^2+m^2$ a partire da questa equazione, dobbiamo ritrovare il termine $p^2$ e i termini misti in $mc{p}_i$ devono essere nulli. I coefficienti devono quindi sottostare alle condizioni:

$\begin{array}{cc}\frac{{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i}{2}& ={\delta }_{ij}\\ {\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i& =0\\ {\beta }^2& =𝕀\end{array}$

e in questo caso la relazione diventa:

$p_4\psi =[\sum _i{\alpha }_i{p}_i+\beta mc]\psi$

Bisogna ora esplicitare i coefficienti da inserire nell'equazione. I coefficienti ${\alpha }_i$ soddisfano la proprietà di anticommutazione e quelle delle matrici. Questo implica immediatamente che $\psi$ non può essere uno scalare, ma un vettore sul quale queste matrici possono operare. La seconda proprietà ci permette di dedurre:

${\alpha }_i\beta =-\beta {\alpha }_i\Rightarrow \det {\alpha }_i\cdot \det \beta =(-1{)}^N\det \beta \cdot \det {\alpha }_i<math>in<math>N$ dimensioni. Ma il determinante è un numero, quindi $𝐍$ deve essere pari. Essendo anche il determinante diverso da 0, possiamo prendere le matrici inverse e dalla stessa relazione ricavare le condizioni:

${\alpha }_i^{-1}{\alpha }_i\beta =-{\alpha }_i^{-1}\beta {\alpha }_i\Rightarrow \beta =-{\alpha }_i^{-1}\beta {\alpha }_i$

e prendendone le tracce:

$\mathrm{T}\mathrm{r}\beta =-\mathrm{T}\mathrm{r}\beta \Rightarrow \mathrm{T}\mathrm{r}\beta =0$

Moltiplicando invece per ${\beta }^{-1}$ si ricava:

${\beta }^{-1}{\alpha }_i\beta =-{\beta }^{-1}\beta {\alpha }_i\Rightarrow {\alpha }_i=-{\beta }^{-1}{\alpha }_i\beta \Rightarrow \mathrm{T}\mathrm{r}{\alpha }_i=\mathrm{T}\mathrm{r}\Rightarrow \mathrm{T}\mathrm{r}{\alpha }_i=0$

Le tre matrici ${\alpha }_i$ e la $\beta$ sono quindi matrici non unitarie a traccia nulla di dimensione pari. La matrice $\beta$, per via della traccia nulla e della terza condizione sul suo quadrato, deve avere la forma:

$\beta =\left(\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & & -1& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & -1\end{array}\right)$

La dimensione minima che soddisfa tutte queste richieste è 4 in quanto a causa della particolare forma della terza matrice ${\sigma }_3$ non è possibile soddisfare queste condizioni in uno spazio a dimensione 2, poiché una base è composta dalle tre matrici di Pauli più la matrice unitaria. Si noti tuttavia che questo numero non ha alcuna relazione con le dimensioni dello spazio-tempo.

Notando che in uno spazio $2\times 2$ una base matriciale è costituita dalla matrice identità e dalle tre matrici di Pauli ${\sigma }_k$:

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right){\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right){\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

e notando inoltre che le matrici di Pauli possono essere utilizzate a livello più generale come elementi di matrici a blocchi, si può senz'altro scegliere come base:

${\alpha }_k=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_k\\ {\sigma }_k& 0\end{array}\right)\beta =\left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)$

Ovvero, esplicitamente:

${\alpha }_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right){\alpha }_2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& -i& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\end{array}\right){\alpha }_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)\beta =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

Questa scelta costituisce la cosiddetta rappresentazione standard o rappresentazione di Dirac; altre due rappresentazioni possibili sono quella di Weyl e quella di Majorana.

L'equazione in forma operatoriale assume questo aspetto:

$i\frac{\partial }{\partial t}\psi =\frac{c}{i}\sum _k{\alpha }_k{\partial }_k\psi +\frac{m{c}^2}{\hslash }\beta \psi$

la cui complessa coniugata è:

$-i\frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{†}=-\frac{c}{i}\sum _k{\partial }_k{\psi }^{†}{\alpha }_k+\frac{m{c}^2}{\hslash }{\psi }^{†}\beta$

Seguendo il procedimento standard per trovare l'equazione di continuità, possiamo ora moltiplicare la prima per ${\psi }^{†}$ a sinistra e la seconda per $\psi$ a destra. Sottraendo poi la seconda dalla prima si ottiene:

$i[{\psi }^{†}\frac{\partial }{\partial t}\psi +\frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{†}\cdot \psi ]=\frac{c}{i}\sum _k({\psi }^{†}{\alpha }_k{\partial }_k\psi +{\partial }_k{\psi }^{†}{\alpha }_k\psi )$

ovvero:

$i\frac{\partial }{\partial t}\left({\psi }^{†}\psi \right)=\frac{c}{i}\sum _k{\partial }_k\left({\psi }^{†}{\alpha }_k\psi \right)$

È possibile quindi definire una densità di probabilità e una densità di corrente di probabilità rispettivamente come:

$\begin{array}{cc}\varrho & ={\psi }^{†}\psi \\ j_k& =c{\psi }^{†}{\alpha }_k\psi \end{array}$

e ottenere infine l'equazione di continuità nella solita forma, dove il termine $c\overrightarrow{\alpha }$ risulta legato alla velocità ed in cui la densità di probabilità è effettivamente definita positiva:

$\frac{\partial \varrho }{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{ȷ}=0$

Resta da soddisfare infine la condizione (5). L'equazione scritta qui è in realtà già covariante e si esplicita semplicemente moltiplicando a sinistra per $\beta$:

$\frac{i\beta }{c}\frac{\partial }{\partial t}\psi +i\beta {\alpha }_k{\partial }_k\psi -\frac{mc}{\hslash }\psi =0$

Introduciamo ora la notazione standard di Dirac, facendo le posizioni (matrici di Dirac):

$i\beta \equiv {\gamma }_4\beta {\alpha }_i\equiv {\gamma }_i$

Questo permette di riscrivere l'equazione in forma più compatta:

$\begin{array}{cc}i{\gamma }_4{\partial }_4\psi +i\overrightarrow{\gamma }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\psi -\frac{mc}{\hslash }\psi & =0\to \\ -{\gamma }_4\frac{\hslash }{i}{\partial }_4\psi -\frac{\hslash }{i}\overrightarrow{\gamma }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\psi -mc\psi & =0\to \\ ({\gamma }_4{p}_4+\overrightarrow{\gamma }\cdot \overrightarrow{p}+mc)\psi =0\end{array}$

La covarianza a vista è ormai già evidente. Riscrivendo l'equazione in termini di quadrivettori si trova la forma definitiva per l'equazione di Dirac:

$\begin{array}{c}({\gamma }_{\mu }\cdot {\hat{p}}_{\mu }+mc)\psi =0\end{array}$

Si può introdurre anche la notazione $\cancel{\hat{P}}\equiv {\gamma }_{\mu }\cdot {\hat{p}}_{\mu }$, che permette di scrivere l'equazione di Dirac nella forma eccezionalmente compatta:

$\begin{array}{c}(\cancel{\hat{P}}+mc)\psi =0\end{array}$

Evidenziamo ora alcune proprietà delle matrici ${\gamma }_{\mu }$. In primo luogo:

$\begin{array}{c}{\gamma }_4^{†}=-i{\beta }^{†}=-{\gamma }_4\\ {\gamma }_i^{†}={\alpha }_1^{†}{\beta }^{†}={\alpha }_i\beta =-\beta {\alpha }_i=-{\gamma }_i\end{array}\}\Rightarrow {\gamma }_{\mu }^{†}=-{\gamma }_{\mu }$

Dall'equazione di Dirac si ricava invece:

${\alpha }_i{\beta }^2{\alpha }_j+{\alpha }_j{\beta }^2{\alpha }_i=2{\delta }_{ij}\Rightarrow -\beta {\alpha }_i\beta {\alpha }_j-\beta {\alpha }_j\beta {\alpha }_i=2\delta ij\Rightarrow {\gamma }_i{\gamma }_j+{\gamma }_j{\gamma }_i=-2{\delta }_{ij}$

e in particolare, se $i=j$, ${\gamma }_i^2=-𝕀$. Inoltre, per la quarta componente:

${\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i=0\Rightarrow -i{\gamma }_i{\gamma }_4-i{\gamma }_4{\gamma }_i=0$

e dunque in definitiva vale l'importante relazione:

$\begin{array}{c}{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }+{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu }=-2{\delta }_{\mu \nu }\end{array}$