Meccanica quantistica relativistica/Equazioni di Maxwell in forma quantistica

Consideriamo ora invece le equazioni di Maxwell nel vuoto e lavoriamo in unità naturali:

$\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{H}& =0\\ \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}& =\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\end{array}\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}& =0\\ \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}& =-\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}\end{array}$

Poiché non ha senso scriverle come un'equazione d'onda nello spazio delle $x$, passiamo nello spazio delle $k$ tramite la trasformata di Fourier:

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})& =\int {\overrightarrow{E}}_k{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}d\overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})& =\int {\overrightarrow{H}}_k{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}d\overrightarrow{k}\end{array}$

che sostituite nelle equazioni di Maxwell forniscono:

$\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{H}}_k& =0\\ i\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{H}}_k& ={\overrightarrow{\dot{E}}}_k\end{array}\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{E}}_k& =0\\ -i\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{E}}_k& ={\overrightarrow{\dot{H}}}_k\end{array}$

Bisogna ora naturalmente garantire che $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}^{\ast }$ e $\overrightarrow{H}={\overrightarrow{H}}^{\ast }$. Siccome vale:

${\overrightarrow{E}}^{\ast }(\overrightarrow{r})=\int {\overrightarrow{E}}_k^{\ast }{e}^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}d\overrightarrow{k}=\int {\overrightarrow{E}}_{-k}^{\ast }{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}d\overrightarrow{k}$

deve quindi risultare:

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_k^{\ast }={\overrightarrow{E}}_{-k}\\ {\overrightarrow{H}}_k^{\ast }={\overrightarrow{H}}_{-k}\end{array}$

che rappresentano sei condizioni.

Siccome:

$i\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{H}}_k={\overrightarrow{\dot{E}}}_k\to i\overrightarrow{k}\times [\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{H}}_k]=\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{\dot{E}}}_k\to i(\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{H}}_k)\overrightarrow{k}-i{k}^2{\overrightarrow{H}}_k=\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{\dot{E}}}_k$

si deduce senz'altro che:

${\overrightarrow{H}}_k=\frac{i}{k^2}\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{\dot{E}}}_k$

Per svincolarsi ora dalla condizione di realtà si fa la posizione:

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_k=N(k)({\overrightarrow{f}}_k+{\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast })\\ {\overrightarrow{\dot{E}}}_k=-ikN(k)({\overrightarrow{f}}_k+{\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast })\end{array}$

dove $N(k)$ è una costante di normalizzazione che sarà calcolata fra breve. Questa relazione implica a sua volta:

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_k={\overrightarrow{\dot{E}}}_{-k}\\ {\overrightarrow{H}}_k={\overrightarrow{\dot{H}}}_{-k}\end{array}$

Si consideri ora l'equazione di Maxwell:

$i\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{E}}_k={\overrightarrow{\dot{H}}}_k$

sostituendo in questa l'espressione per ${\overrightarrow{H}}_k$ trovata sopra si trova:

$i\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{E}}_k=\frac{i}{k^2}\overrightarrow{k}\times \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}{\overrightarrow{E}}_k\to i\overrightarrow{k}(\frac{1}{k^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}{\overrightarrow{E}}_k+{\overrightarrow{E}}_k)=0\to (\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}+k^2){\overrightarrow{E}}_k$

ovvero formalmente:

$(\frac{\partial }{\partial t}+ik)(\frac{\partial }{\partial t}-ik){\overrightarrow{E}}_k=0$

Essendo ora:

$(\frac{\partial }{\partial t}-ik){\overrightarrow{E}}_k={\overrightarrow{\dot{H}}}_k-ik{\overrightarrow{H}}_k=ikN(k)({\overrightarrow{f}}_k-{\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast })-ikN(k)({\overrightarrow{f}}_k+{\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast })=-2ikN(k){\overrightarrow{f}}_k$

si può sostituire questo risultato nella precedente ottenendo:

$-(\frac{\partial }{\partial t}+ik)2ikN(k){\overrightarrow{f}}_k=0$

ovvero:

$\begin{array}{c}i\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{f}}_k=k{\overrightarrow{f}}_k\end{array}$

Dalle rimanenti equazioni si ricava invece:

$\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{E}}_k=0\to \overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k+\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast }=0$

$\overrightarrow{k}\cdot \left(\frac{\overrightarrow{k}\times {\overrightarrow{\dot{E}}}_k}{k^2}\right)=0\to \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{\dot{E}}=0\to \overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k+\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast }=0$

che implicano:

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k=0\\ \overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_{-k}^{\ast }=0\end{array}$

ovvero:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k=0\end{array}$

Combinando ora le due relazioni di sopra si ricava la seguente:

$i\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{f}}_k=k{\overrightarrow{f}}_k-\frac{\overrightarrow{k}}{k}(\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k)\to i\frac{\partial }{\partial t}{\overrightarrow{f}}_k=k[{\overrightarrow{f}}_k-\frac{\overrightarrow{k}}{k^2}(\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k)]$

che scritta per componenti fornisce:

$\begin{array}{c}i\frac{\partial }{\partial t}{\left({\overrightarrow{f}}_k\right)}_i={\hat{W}}_{ij}{\left({\overrightarrow{f}}_k\right)}_j{\hat{W}}_{ij}\equiv k({\delta }_{ij}-\frac{k_i\cdot k_j}{k^2})\end{array}$

Consideriamo ora il prodotto scalare di questa con le $k_i$:

$i\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k=k_i{\hat{W}}_{ij}{\left({\overrightarrow{f}}_k\right)}_j$

ma:

$k_i{\hat{W}}_{ij}=k(\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k-\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k)$

e dunque $\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k$ è soluzione di $i\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k=0$. In altre parole, imposto il valore $\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k$ all'inizio, questo si conserva nel tempo.

Le equazioni di Maxwell si riducono quindi in definitiva a:

$\{\begin{array}{c}i\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k=k_i{\hat{W}}_{ij}{\left({\overrightarrow{f}}_k\right)}_j\\ {\overrightarrow{k}\cdot {\overrightarrow{f}}_k=0|}_0\text{Condizione Iniziale}\\ {\hat{W}}_{ij}=k({\delta }_{ij}-\frac{k_i\cdot k_j}{k^2})\end{array}$

che di fatto è un'equazione di tipo Schrodinger con ${\hat{W}}_{ij}$ come operatore.