Meccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica

Iniziamo, per semplicità, a considerare una particella a impulso nullo. L'equazione in forma operatoriale diventa quindi:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =\beta m{c}^2\psi \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{i\beta m{c}^2}{\hslash }\psi$

che può essere integrata componente per componente. In quattro dimensioni - come è il caso presente - una base di vettori è fornita banalmente da:

$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right);e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right);e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right);e_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

ricordando che $\beta =\left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)$, si ritrovano per soluzione i ben noti esponenziali:

${\psi }_1(t)=e^{-\frac{im{c}^2}{\hslash }t}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right);{\psi }_2(t)=e^{-\frac{im{c}^2}{\hslash }t}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

ai quali risultano ora affiancate altre due soluzioni che devono essere prese in considerazione:

${\psi }_3(t)=e^{\frac{im{c}^2}{\hslash }t}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right);{\psi }_4(t)=e^{\frac{im{c}^2}{\hslash }t}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Le prime due soluzioni rappresentano l'evoluzione temporale di un'onda a due componenti: sono le funzioni rappresentanti lo spin semintero. Le seconde soluzioni sono invece la descrizione di particelle a energia negativa, che la teoria interpreta come antiparticelle. La semplificazione fatta di trascurare il termine dell'impulso corrisponde in realtà al limite non relativistico, in cui il termine predominante è proprio $\beta mc$.

Introduciamo ora nella equazione di Dirac l'interazione elettromagnetica, operando la sostituzione $p^{\mu }\to p^{\mu }+eA/c$. L'equazione in forma operatoriale si trasforma allora nella seguente:

$\frac{i\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\psi =(\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{p}+\beta mc)\psi \Rightarrow \frac{i\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}\psi =(\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{p}-\frac{e}{c}\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{A}+e\mathrm{\Phi }+\beta mc)\psi$

Ne segue che l'hamiltoniana di questo sistema si può scrivere nella forma $H=H_0+H^{\prime }$, dove $H^{\prime }$ rappresenta l'hamiltoniana di interazione con il campo elettromagnetico:

$H^{\prime }=-\frac{e}{c}\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{A}+e\mathrm{\Phi }$

e dove $\overrightarrow{\alpha }$, come già detto, assume il ruolo della velocità. Questo permette di riscrivere il teorema di Ehrenfest come:

$\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=⟨\frac{\hslash }{i}[H,\overrightarrow{r}]⟩=⟨c\overrightarrow{\alpha }⟩$

Le conclusioni precedenti sulle soluzioni dell'equazione di Dirac ci autorizzano a scrivere la funzione d'onda $\psi$ in termini di un bispinore:

$\psi =\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ {\chi }^{\prime }\end{array}\right]$

Un bispinore è quindi un particolare vettore che può essere pensato composto di due parti ($\phi$ e $\chi$), in cui ogni parte contiene le due componenti dello spin. Scriviamo quindi l'equazione di Dirac comprendente l'interazione elettromagnetica nel formalismo dei bispinori:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ {\chi }^{\prime }\end{array}\right]=c\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\left[\begin{array}{c}{\chi }^{\prime }\\ {\phi }^{\prime }\end{array}\right]+e\mathrm{\Phi }\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ {\chi }^{\prime }\end{array}\right]+m{c}^2\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ -{\chi }^{\prime }\end{array}\right]$

dove $\overrightarrow{\pi }=\overrightarrow{p}-e/c\overrightarrow{A}$ e si è tenuto presente che:

$\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_k\\ {\sigma }_k& 0\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ {\chi }^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_k{\chi }^{\prime }\\ {\sigma }_k{\phi }^{\prime }\end{array}\right]={\sigma }_k\left[\begin{array}{c}{\chi }^{\prime }\\ {\phi }^{\prime }\end{array}\right]$

Nel limite non relativistico il termine predominante è ovviamente $m{c}^2\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ -{\chi }^{\prime }\end{array}\right]$. Ricerchiamo ora le soluzioni per la particella libera nella forma:

$\left[\begin{array}{c}{\phi }^{\prime }\\ {\chi }^{\prime }\end{array}\right]=e^{-i\frac{m{c}^2}{\hslash }t}\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]$

e sostituendo questa forma nell'equazione ai bispinori scritta sopra:

$\{i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]+m{c}^2\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]\}{e}^{-i\frac{m{c}^2}{\hslash }t}=\{c\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\left[\begin{array}{c}\chi \\ \phi \end{array}\right]+e\mathrm{\Phi }\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]+m{c}^2\left[\begin{array}{c}\phi \\ -\chi \end{array}\right]\}{e}^{-i\frac{m{c}^2}{\hslash }t}$

ovvero, eliminando il fattore esponenziale in comune ai due e mai nullo:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]=c\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\left[\begin{array}{c}\chi \\ \phi \end{array}\right]+e\mathrm{\Phi }\left[\begin{array}{c}\phi \\ \chi \end{array}\right]-2m{c}^2\left[\begin{array}{c}0\\ \chi \end{array}\right]$

Nel limite non relativistico predominano chiaramente i termini in $c$ e $c^2$. Separando quindi l'equazione per le componenti alte e basse, nel limite non relativistico otteniamo:

$\{\begin{array}{cc}c\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\chi & =0\\ c\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }\phi -2m{c}^2\chi & =0\end{array}$

Le componenti alte restituiscono quindi in questo caso ("classico") $\chi =0$ e questo è corretto: a energie sufficientemente basse non ci sono componenti legate alle antiparticelle. Le componenti basse ci permettono invece di giungere alla relazione:

$\chi =\frac{\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi }}{2mc}\phi$

Questa relazione permette di identificare le componenti basse come le componenti "piccole" in rapporto alle componenti alte $\phi$. Queste componenti sono infatti ridotte di un fattore $v/c\ll 1$ nel limite non relativistico rispetto alle $\phi$. Sostituendo la forma delle $\chi$ nelle componenti alte dell'equazione ai bispinori scritta sopra si ricava:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi =\frac{(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi })(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi })}{2mc}\phi +e\mathrm{\Phi }\phi$

siccome vale:

$(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi })(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi })={(\overrightarrow{p}-\frac{e}{c}\overrightarrow{A})}^2-\frac{e\hslash }{c}\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A})$

l'equazione per le componenti alte (particelle) nel caso non relativistico diventa quindi (equazione di Pauli per particelle con spin):

$\begin{array}{c}i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi =[\frac{(\overrightarrow{p}-\frac{e}{c}\overrightarrow{A}{)}^2}{2m}-\frac{e\hslash }{2m}\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B}+e\mathrm{\Phi }]\phi \end{array}$

Ritrovare questa equazione significa che l'equazione di Dirac è effettivamente un buon punto di partenza per costruire una teoria quantistica relativistica. Infatti, le due componenti alte sono sufficienti per i due gradi di libertà associati allo spin 1/2 di una particella libera, ritrovando anche il corretto momento magnetico dell'elettrone corrispondente al rapporto giromagnetico $g=2$. Infatti, tenendo presente che $\overrightarrow{A}=1/2\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{r}$ e prendendo solo i termini al primo ordine nel campo magnetico $\overrightarrow{B}$:

$\frac{1}{2m}{[\overrightarrow{p}-\frac{e}{2c}\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{r}]}^2\simeq \frac{1}{2m}[p^2-\frac{e}{c}\overrightarrow{p}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{r})]$

dalle proprietà del prodotto misto si sa che: $\overrightarrow{p}\cdot (\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{r})=(\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{r}=(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{B}=\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{B}$, per cui denotando con $\overrightarrow{S}\equiv 1/2\hslash \overrightarrow{\sigma }$ l'operatore di spin l'equazione di Pauli assume la forma:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\phi =[\frac{p^2}{2m}-\frac{e}{2mc}(\overrightarrow{L}+2\overrightarrow{S})\cdot \overrightarrow{B}]\phi$

dove il coefficiente di interazione dello spin con il campo magnetico è appunto $g=2$.