Meccanica quantistica relativistica/Formalismo di seconda quantizzazione per bosoni

Consideriamo $N$ bosoni non interagenti e siano ${\phi }_{{\alpha }_j}({\overrightarrow{r}}_{p_j})$ le funzioni d'onda di singola particella, dove $p_j$ indica il numero di particelle nello stato ${\alpha }_j$. Se le particelle non fossero identiche la funzione totale si scriverebbe come:

${\phi }_1({\overrightarrow{r}}_1)\cdots {\phi }_1({\overrightarrow{r}}_{p_1}){\phi }_2({\overrightarrow{r}}_{p_1+1})\cdots {\phi }_2({\overrightarrow{r}}_{p_1+p_2})\cdots {\phi }_{{\alpha }_l}({\overrightarrow{r}}_{p_1+\cdots p_l=N})$

poiché però le particelle sono bosoni identici occorre prendere la somma su tutte le permutazioni non banali, ovvero permettere la permutazione delle prime $p_1$ particelle fra loro, delle seconde $p_2$ e così via. Queste permutazioni sono in numero di $N!/(p_1!\cdots p_l!)$ e quindi la funzione totale va anche moltiplicata per $\sqrt{p_1!\cdots p_l!/N!}$ per mantenere la normalizzazione. Si indichi con $|p_1\dots p_l⟩$ lo stato simmetrico ottenuto in questo modo.

Chiamiamo ora operatore collettivo un operatore definito come:

$\hat{O}=\sum _{i=1}^N{\hat{O}}_i$

dove il singolo operatore ${\hat{O}}_i$ agisce sulla singola particella. Ricerchiamo quindi gli elementi di matrice di questo operatore $\hat{O}$. Se si suppone gli ${\hat{O}}_i$ diagonali, allora:

${\hat{O}}_i{\phi }_{{\alpha }_h}(\overrightarrow{r_j})={\delta }_{ij}{o}_h{\phi }_{{\alpha }_h}(\overrightarrow{r_j})$

si ricava:

$\hat{O}|p_1\cdots p_l⟩=\sum _{h=1}^N{o}_h{p}_h|p_1\cdots p_l⟩$

Se questi operatori soddisfano invece la relazione:

${\hat{O}}_i{\phi }_{{\alpha }_l}(\overrightarrow{r_j})={\delta }_{ij}{\delta }_{lr}{\phi }_{{\alpha }_s}(\overrightarrow{r_j})$

questo agisce solo sulle funzioni d'onda relative alla particella $i=j$ e manda lo stato ${\alpha }_r$ ($l=r$) nello stato ${\alpha }_s$ con autovalore 1. In altre parole, questo operatore sposta $r$ in $s$: se lo stato $r$ manca esso non agisce, ma se è presente almeno una particella la manda nello stato $s$. Se inizialmente lo stato $r$ ha $p_r$ particelle e lo stato $s$ ne ha $p_s$, dopo l'azione dell'operatore lo stato $r$ si ritrova con $p_r-1$ particelle e lo stato $s$ con $p_s+1$. Gli elementi di matrice devono allora essere del tipo ${\delta }_{ps}{\delta }_{qr}$, a cui va aggiunta la normalizzazione.

Prima dell'azione degli ${\hat{O}}_i$ ci sono $N!/\sqrt{p_1!\cdots p_l!}$ addendi in $|p_1\cdots p_l⟩$, dopo il numero dei prodotti degli stati per singola particella è:

$\frac{p_{r}N!}{p_1!\cdots p_l!}$

con il fattore di normalizzazione $\sqrt{p_1!\cdots p_l!/N!}$. Per azione diretta si ricava il numero di termini:

$\frac{N!}{p_1\cdots (p_r-1)!(p_s+1)!\cdots p_l!}$

con una normalizzazione data da $\sqrt{p_1\cdots (p_r-1)!(p_s+1)!\cdots p_l!/N!}$. Per confronto:

$\begin{array}{c}\frac{\frac{p_{r}N!}{p_1!\cdots p_l!}\sqrt{\frac{p_1!\cdots p_l!}{N!}}}{\frac{N!}{p_1\cdots (p_r-1)!(p_s+1)!\cdots p_l!}\sqrt{\frac{p_1\cdots (p_r-1)!(p_s+1)!\cdots p_l!}{N!}}}=\\ =\frac{p_r(p_r-1)!}{p_r!}\frac{(p_s+1)!}{p_S!}\sqrt{\frac{p_r!}{(p_r-1)!}\frac{p_s!}{(p_s+1)!}}=(p_s+1)\sqrt{\frac{p_r}{p_s+1}}\end{array}$

da cui in definitiva:

$\hat{O}|p_1\cdots p_r{p}_s\cdots p_l⟩=\sqrt{p_r(p_s+1)}|p_1\cdots (p_r-1)(p_s+1)\cdots p_l⟩$

L'analogia con gli operatori di creazione e distruzione suggerisce la definizione degli operatori:

$\begin{array}{cc}{\hat{a}}_s^{†}|p_1\cdots p_s\cdots p_l⟩& =\sqrt{p_s+1}|p_1\cdots (p_s+1)\cdots p_l⟩\\ {\hat{a}}_r|p_1\cdots p_r\cdots p_l⟩& =\sqrt{p_r-1}|p_1\cdots (p_s+1)\cdots p_l⟩\end{array}$

che soddisfano la relazione $[a_r,a_s^{†}]={\delta }_{rs}$. L'operatore ${\hat{a}}_s^{†}$ crea una particella nello stato $s$ e l'operatore ${\hat{a}}_r<math>distruggeunaparticellanellostato<math>r$, sono chiamati pertanto rispettivamente operatore bosonico di creazione e operatore bosonico di distruzione.

In termini di questi operatori risulta:

$\hat{O}=o_{sr}{\hat{a}}_s^{†}{\hat{a}}_r$

Se si considera il generico operatore $\hat{O}$ con elementi di matrice ${\hat{O}}_{pq}$ che soddisfa la ${\hat{O}}_{pq}={\delta }_{ps}{\delta }_{qr}{\hat{O}}_{sr}$, ricordando la definizione di ${\hat{O}}_i$ data sopra si può riscrivere come:

$\hat{O}=\sum _{r,s=1}^l{o}_{sr}{\hat{a}}_s^{†}{\hat{a}}_r$

Consideriamo infine gli operatori:

$\begin{array}{cc}\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r})& =\sum _{h=1}^n{\phi }_h(\overrightarrow{r}){\hat{a}}_h\\ {\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })& =\sum _{k=1}^n{\phi }_k^{\ast }({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\hat{a}}_k^{†}\end{array}$

Questi operatori soddisfano le relazioni:

$[\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r}),\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r})]=[{\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}(\overrightarrow{r}),{\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}(\overrightarrow{r})]=0$

e

$[\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r}),{\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })]=\sum _{h,k=1}^l{\phi }_h(\overrightarrow{r}){\phi }_k^{\ast }({\overrightarrow{r}}^{\prime })[{\hat{a}}_h,{\hat{a}}_k^{†}]=\sum _{h=1}^l{\phi }_h(\overrightarrow{r}){\phi }_h^{\ast }({\overrightarrow{r}}^{\prime })$

poiché le ${\phi }_h(\overrightarrow{r})$ sono anche un sistema completo, vale la relazione:

$[\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r}),{\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })]=\delta (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })$

Da queste relazioni si deduce che l'operatore ${\hat{\mathrm{\Psi }}}^{†}({\overrightarrow{r}}^{\prime })$ crea una particella nella posizione ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ e l'operatore $\hat{\mathrm{\Psi }}(\overrightarrow{r})$ distrugge una particella nella posizione $\overrightarrow{r}$. Questi operatori sono chiamati operatori di campo bosonico.