Meccanica quantistica relativistica/Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell

Consideriamo le equazioni di Maxwell:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}& =+4\pi \varrho \\ \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}& =-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}\end{array}\{\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{H}& =0\\ \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}& =4\pi \frac{\varrho \overrightarrow{v}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\end{array}\end{array}$

Come è noto, il fatto che la divergenza del campo magnetico $\overrightarrow{H}$ sia identicamente nulla induce a scrivere $\overrightarrow{H}$ come il rotore di un campo:

$\overrightarrow{H}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}$

Infatti la divergenza di un rotore è identicamente nulla se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Schwarz. Questa scrittura permette di dedurre:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A})=-\frac{1}{c}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \left(\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\right)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t})=0$

Il campo $\overrightarrow{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$ è quindi irrotazionale, pertanto si può a sua volta scrivere come il gradiente di un campo scalare $\varphi$:

$\overrightarrow{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi \Rightarrow \overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi$

pertanto i campi $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{H}$ soluzioni delle equazioni di Maxwell si possono scrivere tramite i potenziali $\overrightarrow{A}$ e $\varphi$:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{H}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi \end{array}$

I potenziali $\overrightarrow{A}$ e $\varphi$ prendono rispettivamente il nome di potenziale vettore e potenziale scalare. Sostituendo queste espressioni nelle equazioni del flusso del campo elettrico e della generalizzazione della legge di Ampère (ovvero le altre due equazioni di Maxwell) si ricavano le equazioni corrispondenti per i potenziali:

$-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{\rho }{\epsilon }$

$-c^2{\mathrm{\nabla }}^2𝐀+c^2\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)+\frac{\partial \mathrm{\nabla }\varphi }{\partial t}+\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=\frac{𝐉}{\epsilon }$

dove si è tenuto conto della relazione vettoriale $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{V})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{V})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{V}$. Queste equazioni, note anche come equazioni elettrodinamiche, descrivono la propagazione dei due potenziali vettore e scalare; tuttavia queste due equazioni risultano accoppiate.

Grazie al margine di arbitrarietà compreso nella definizione dei potenziali è possibile però disaccoppiarle. Questo margine di arbitrarietà deriva dal fatto che applicando determinate trasformazioni ai potenziali, le equazioni di evoluzione rimangano inalterate: in altri termini, applicando queste trasformazioni ai potenziali (dette trasformazioni di Gauge) le espressioni dei campi elettrico e magnetico non variano. Lo scopo finale che si ha in mente qui è quello di disaccoppiare le due equazioni e di renderle allo stesso tempo invarianti relativisticamente.

Innanzitutto si osservi che siccome il rotore di un campo gradiente è sempre nullo e denotando con $\mathrm{\Psi }$ un campo sufficientemente regolare, si ha che la trasformazione $\overrightarrow{A}⟶\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }$ non altera il campo magnetico. Se si inserisce questa trasformazione nella seconda delle equazioni di Maxwell in forma covariante si trova per il campo elettrico:

$\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{A}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi \to -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{A}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}\right)-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi$

e si vede che affinché anche il campo elettrico resti invariato il potenziale scalare deve far comparire un termine che compensi quello aggiuntivo derivante dal potenziale vettore, cioè deve trasformare come $\varphi ⟶\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }$. Quindi le trasformazioni sui potenziali:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\overrightarrow{A}⟶\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }\\ \varphi ⟶\varphi -\frac{1}{c}\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}\end{array}\end{array}$

rimangono invariate le equazioni di Maxwell. Avendo sempre in mente di disaccoppiare le due equazioni elettrodinamiche e metterle in una forma relativisticamente invariante, si può utilizzare la libertà di scelta fornita dalla $\mathrm{\Psi }$ per fare in modo che risulti:

$\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\varphi \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0\end{array}$

Questa particolare scelta prende il nome di gauge di Lorenz ed è un invariante di Lorentz. In questo modo la prima equazione si disaccoppia e prende la forma di un'equazione delle onde:

$-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}=-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=4\pi \varrho$

Questa scelta risulta coerente, si vede infatti che sostituita nell'equazione per il potenziale vettore permette anche a questa equazione di disaccoppiarsi e assumere la forma di un'equazione delle onde:

$\begin{array}{c}-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A})=4\pi \frac{\varrho \overrightarrow{v}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}(-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi )\Rightarrow \\ -{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A})=4\pi \frac{\varrho \overrightarrow{v}}{c}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\varphi \right)\end{array}$

ovvero, in definitiva:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}& =-4\pi \varrho \\ {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}& =-4\pi \frac{\varrho \overrightarrow{v}}{c}\end{array}$

Queste due equazioni possono ormai essere riscritte direttamente in forma invariante utilizzando l'operatore dalambertiano $◻\equiv {\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$ che, come è noto, è un invariante relativistico:

$\begin{array}{cc}◻\varphi & =-4\pi \varrho \\ ◻\overrightarrow{A}& =-4\pi \frac{\varrho \overrightarrow{v}}{c}\end{array}$

La gauge di Lorenz, che sfrutta la libertà insita nella definizione dei potenziali, permette quindi di esplicitare la covarianza delle equazioni dei potenziali.

Il fatto che il dalambertiano sia un invariante porta a introdurre in maniera naturale due quadrivettori:

$\begin{array}{cc}{A}_{\mu }& \equiv (\overrightarrow{A},\varphi )\text{quadrivettore potenziale}\\ j_{\mu }& \equiv (\varrho \overrightarrow{v}/c,\varrho )\text{quadrivettore corrente}\end{array}$

L'introduzione di un quadrivettore potenziale è del tutto lecita. Non deve sfuggire infatti che la gauge di Lorenz è in effetti la quadridivergenza di questo quadrivettore, che risulta pertanto invariante. In altri termini, l'imposizione della gauge di Lorenz ai potenziali vettore e scalare oltre che disaccoppiare le equazioni dei potenziali, rendono questi le componenti di un quadrivettore invariante.

In termini di questi due quadrivettori, le equazioni dei potenziali assumono immediatamente una forma invariante relativistica estremamente compatta:

$\begin{array}{c}◻A_{\mu }=-4\pi j_{\mu }\end{array}$

Si consideri ora una generica rotazione:

$\{\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\cos \theta +y\sin \theta \\ y^{\prime }& =-x\sin \theta +y\cos \theta \\ z^{\prime }& =z\end{array}$

Il gradiente definito come:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\equiv (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

trasforma come:

$\frac{\partial }{\partial x^{\prime }}=\frac{\partial x}{\partial x^{\prime }}\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x^{\prime }}\frac{\partial }{\partial y}=\cos \theta \frac{\partial }{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial }{\partial y}$

e quindi il gradiente trasforma esattamente come un vettore. Considerando invece le trasformazioni di Lorentz:

$\{\begin{array}{cc}{z}^{\prime }& =\gamma (z+vt)\\ c{t}^{\prime }& =\gamma (ct+z\frac{v}{c})\end{array}$

il gradiente trasforma come:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z^{\prime }}& =\frac{\partial z}{\partial z^{\prime }}\frac{\partial }{\partial z}+\frac{\partial (ct)}{\partial z^{\prime }}\frac{\partial }{\partial (ct)}=\gamma (\frac{\partial }{\partial z}-\frac{v}{c}\frac{\partial }{\partial (ct)})\\ \frac{\partial }{\partial (c{t}^{\prime })}& =\frac{\partial (ct)}{\partial (c{t}^{\prime })}\frac{\partial }{\partial (ct)}+\frac{\partial z}{\partial (c{t}^{\prime })}\frac{\partial }{\partial z}=\gamma (\frac{\partial }{\partial (ct)}-\frac{v}{c}\frac{\partial }{\partial (ct)})\end{array}$

e quindi anche nel caso di trasformazioni di Lorentz il gradiente trasforma come un vettore. Si possono quindi introdurre i quadrivettori:

$x_{\mu }\equiv (\overrightarrow{r},ct){\partial }_{\mu }\equiv (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }},-\frac{\partial }{\partial ct})$

e i rispettivi controvarianti:

$x^{\mu }\equiv (\overrightarrow{r},-ct){\partial }^{\mu }\equiv (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }},\frac{\partial }{\partial ct})$

in questo modo $x_{\mu }{x}^{\mu }=r^2-c^2{t}^2$ è il quadrintervallo e ${\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=◻$ è il dalambertiano. Con questa notazione, la gauge di Lorenz si esprime come ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$.

L'introduzione di un formalismo relativisticamente invariante permette di definire un tensore elettromagnetico. Infatti vale:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}\Rightarrow H_z=\frac{\partial }{\partial x}{A}_y-\frac{\partial }{\partial y}{A}_x\text{ovvero}{H}_k={\partial }_i{A}_j-{\partial }_j{A}_i$

per il campo elettrico vale una relazione analoga:

$E_z=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial A_z}{\partial t}-\frac{\partial }{\partial z}\varphi ={\partial }_4{A}_3-{\partial }_3{A}_4$

Si è portati quindi a introdurre un tensore elettromagnetico definito come:

$\begin{array}{c}{F}_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }\equiv \left(\begin{array}{cccc}0& H_z& -H_y& -E_x\\ -H_z& 0& H_x& -E_y\\ H_y& -H_x& 0& -E_z\\ E_x& E_y& E_z& 0\end{array}\right)\end{array}$

e che trasforma evidentemente come:

$F{\text{'}}_{\mu \nu }(x{\text{'}}_{\lambda })={\mathrm{\Lambda }}_{\mu }^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\sigma }{F}_{\rho \sigma }(x_{\lambda })$

Si vedrà ora come trasformano alcune delle componenti di questo tensore a titolo di esempio.

$\begin{array}{cc}H{\text{'}}_z& =F{\text{'}}_{12}={\mathrm{\Lambda }}_1^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_2^{\sigma }{F}_{\rho \sigma }=F_{12}=H_z\\ E{\text{'}}_z& =F{\text{'}}_{43}={\mathrm{\Lambda }}_1^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_2^{\sigma }{F}_{\rho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}_4^4{\mathrm{\Lambda }}_3^3{F}_{43}+{\mathrm{\Lambda }}_3^4{\mathrm{\Lambda }}_4^3{F}_{34}={\gamma }^2(F_{43}+{\beta }^2{F}_{34})={\gamma }^2(F_{43}-{\beta }^2{F}_{34})=F_{43}=E_z\\ H{\text{'}}_x& =F{\text{'}}_{23}={\mathrm{\Lambda }}_2^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_3^{\sigma }{F}_{\rho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}_2^2{\mathrm{\Lambda }}_3^{\sigma }{F}_{2\sigma }={\mathrm{\Lambda }}_3^3{F}_{23}+{\mathrm{\Lambda }}_3^4{F}_{24}=\gamma (H_x-\beta E_y)\end{array}$

e in maniera analoga per le altre componenti.

Si possono ora considerare le equazioni di Maxwell. Si considerino prima quelle senza sorgenti:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}={\partial }_1{F}_{23}+{\partial }_2{F}_{31}+{\partial }_3{F}_{12}={ϵ}_{abc}{\partial }_a{F}_{bc}=0$

la quarta componente fornisce:

${\partial }_2{F}_{34}+{\partial }_3{F}_{42}+{\partial }_4{F}_{23}=-{\partial }_y{E}_z+{\partial }_z{E}_y-\frac{1}{c}{\partial }_t{H}_x$

ovvero proprio l'equazione $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{H}=0$. Le equazioni senza sorgenti possono quindi scriversi in termini del tensore elettromagnetico:

$\begin{array}{c}{ϵ}_{\lambda \mu \nu }{\partial }^{\lambda }{F}^{\mu \nu }=0\end{array}$

Per le altre equazioni risulta:

${\partial }_x{E}_x+{\partial }_y{E}_y+{\partial }_z{E}_z=4\pi \varrho ={\partial }_1{F}_{41}+{\partial }_2{F}_{42}+{\partial }_3{F}_{43}$

e siccome il termine ${\partial }_4{F}_{44}=0$, questa equazione assume la forma ${\partial }^{\lambda }{F}_{4\lambda }=4\pi j_4$. Generalizzando l'altra equazione si trova per la coppia di equazioni con le sorgenti:

$\begin{array}{c}{\partial }^{\lambda }{F}_{\mu \lambda }=4\pi j_{\mu }\end{array}$

Si consideri ora la forza di Lorentz $\overrightarrow{F}=e(\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}}{c}\times \overrightarrow{H})$. Se si introduce la densità di carica $\varrho$ si può definire una densità di forza di Lorentz $\overrightarrow{ℱ}=\varrho (\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}}{c}\times \overrightarrow{H})$. Si consideri la componente lungo $z$ di questa densità $\overrightarrow{ℱ}$ in termini del tensore elettromagnetico e si tenga presente che vale $j_{\mu }=(\varrho \frac{\overrightarrow{v}}{c},\varrho )$:

$\begin{array}{cc}{ℱ}_z& =\varrho E_z+\frac{\varrho }{c}(v_x{H}_y-v_y{H}_x)=\varrho E_z+\frac{\varrho }{c}{v}_x{H}_y-\frac{\varrho }{c}{v}_y{H}_x=\\ & =\varrho F_{43}+\frac{\varrho v_x}{c}{F}_{31}-\frac{\varrho v_y}{c}{F}_{23}=j_4{F}_{43}+j_1{F}_{31}-j_2{F}_{23}=\\ & =j_4{F}_{43}+j_1{F}_{31}+j_2{F}_{32}+\underset{=0}{\underbrace{j_3{F}_{33}}}=j^{\mu }{F}_{3\mu }\end{array}$

Lo stesso calcolo può applicarsi alle altre componenti della densità di forza, risulta quindi:

${ℱ}_i=j^{\mu }{F}_{i\mu }$

Per la quarta componente si ha:

$\begin{array}{cc}{ℱ}_4& =j^{\mu }{F}_{4\mu }=j^1{F}_{41}+j^2{F}_{42}+j^3{F}_{43}+{j^4{F}_{44}}^0=\frac{\varrho }{c}{v}_x{E}_x+\frac{\varrho }{c}{v}_y{E}_y+\frac{\varrho }{c}{v}_z{E}_z=\frac{\varrho }{c}\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{E}=\\ & =\varrho (\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{H}}{c})\cdot \frac{\overrightarrow{v}}{c}=\frac{\overrightarrow{ℱ}\cdot \overrightarrow{v}}{c}\end{array}$

e cioè la densità di potenza. ${ℱ}_{\lambda }$ costituisce quindi un quadrivettore le cui componenti sono la densità di forza di Lorentz e la densità di potenza:

$\begin{array}{c}{ℱ}_{\lambda }=j^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\end{array}$

Deve allora essere possibile definire un "potenziale" a partire dal quadrivettore ${ℱ}_{\lambda }$ tale che ${ℱ}_{\lambda }=-{\partial }^{\mu }{T}_{\lambda \mu }$. In base alla forma covariante delle equazioni di Maxwell si può scrivere:

${ℱ}_{\lambda }=\underset{=j^{\mu }}{\underbrace{\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }{F}_{\rho }^{\mu }}}{F}_{\lambda \mu }=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{4\pi }{F}_{\rho }^{\mu }{\partial }^{\rho }{F}_{\lambda \mu }=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{4\pi }{F}^{\mu \rho }{\partial }_{\rho }{F}_{\lambda \mu }$

L'idea è di far uscire una divergenza totale manipolando opportunamente questa equazione in modo da poter trovare l'espressione esplicita del "potenziale" $T_{\lambda \mu }$. A questo fine, scambiando gli indici $\rho$ e $\mu$ nel secondo pezzo di quest'ultima equazione:

$-\frac{1}{4\pi }{F}^{\mu \rho }{\partial }_{\rho }{F}_{\lambda \mu }=-\frac{1}{4\pi }{F}^{\rho \mu }{\partial }_{\mu }{F}_{\lambda \rho }$

e sommando:

$\begin{array}{cc}{ℱ}_{\lambda }& =\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{8\pi }(\frac{1}{4\pi }{F}^{\mu \rho }{\partial }_{\rho }{F}_{\lambda \mu }+\frac{1}{4\pi }{F}^{\rho \mu }{\partial }_{\mu }{F}_{\lambda \rho })=\\ & =\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{8\pi }{F}^{\mu \rho }({\partial }_{\rho }{F}_{\lambda \mu }-{\partial }_{\mu }{F}_{\lambda \rho })=\\ & =\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{8\pi }{F}^{\mu \rho }({\partial }_{\rho }{F}_{\lambda \mu }-{\partial }_{\mu }{F}_{\lambda \rho }-{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \rho }+{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \rho })\end{array}$

notando ora che ${\partial }_{\rho }{F}_{\lambda \mu }=-{\partial }_{\rho }{F}_{\mu \lambda }$ si ha:

${ℱ}_{\lambda }=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{8\pi }{F}^{\mu \rho }(\underset{={ϵ}_{\lambda \mu \rho }{\partial }^{\rho }{F}^{\lambda \rho }\equiv 0}{\underbrace{-{\partial }_{\rho }{F}_{\mu \lambda }-{\partial }_{\mu }{F}_{\lambda \rho }-{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \rho }}}+{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \rho })$

per cui:

${ℱ}_{\lambda }=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{8\pi }{F}^{\mu \rho }\left({\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \rho }\right)=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\rho }\left(F_{\rho }^{\mu }{F}_{\lambda \mu }\right)-\frac{1}{16\pi }{\partial }_{\lambda }\left(F^{\mu \rho }{F}_{\mu \rho }\right)$

rinominando ora gli indici muti $\mu$ in $\nu$ e $\rho$ in $\mu$ nel primo termine e mandando l'indice muto $\mu$ in $\nu$ nel secondo termine, si ottiene:

${ℱ}_{\lambda }=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\mu }\left(F_{\mu }^{\nu }{F}_{\lambda \nu }\right)-\frac{1}{16\pi }{\partial }_{\lambda }\left(F^{\nu \rho }{F}_{\nu \rho }\right)$

notando infine che ${\partial }_{\lambda }=g_{\lambda \mu }{\partial }^{\mu }$ si ricava:

${ℱ}_{\lambda }=\frac{1}{4\pi }{\partial }^{\mu }\left(F_{\mu }^{\nu }{F}_{\lambda \nu }\right)-\frac{1}{16\pi }{g}_{\lambda \mu }{\partial }^{\mu }\left(F^{\nu \rho }{F}_{\nu \rho }\right)={\partial }^{\mu }(\frac{1}{4\pi }{F}_{\mu }^{\nu }{F}_{\lambda \nu }-\frac{1}{16\pi }{g}_{\lambda \mu }{F}^{\nu \rho }{F}_{\nu \rho })$

che permette di definire il "potenziale" come:

$\begin{array}{c}{ℱ}_{\lambda }=-{\partial }^{\mu }{T}_{\lambda \mu }{T}_{\lambda \mu }\equiv -\frac{1}{4\pi }{F}_{\mu }^{\nu }{F}_{\lambda \nu }+\frac{1}{16\pi }{g}_{\lambda \mu }{F}^{\nu \rho }{F}_{\nu \rho }\end{array}$

che prende il nome di tensore energia-impulso elettromagnetico.

Questo tensore è simmetrico. Infatti, scambiando $\mu$ e $\lambda$ nel secondo passaggio:

$F_{\mu \nu }{F}_{\lambda }^{\nu }=-F_{\nu \mu }{F}_{\lambda }^{\nu }=F_{\mu }^{\nu }{F}_{\nu \lambda }=F_{\lambda }^{\nu }{F}_{\mu \nu }$

Analizziamo ora le componenti principali di questo tensore.

$T_{41}=-\frac{1}{4\pi }{F}_{4\nu }{F}_1^{\nu }=-\frac{1}{4\pi }{F}_{42}{F}_1^2-\frac{1}{4\pi }{F}_{43}{F}_1^3=-\frac{1}{4\pi }(E_y{H}_z-E_z{H}_y)=\frac{1}{4\pi }{(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})}_x=S_x$

in quanto $g_{41}=0$.

$T_{12}=-\frac{1}{4\pi }{F}_{1\nu }{F}_2^{\nu }=-\frac{1}{4\pi }{F}_{13}{F}_2^3-\frac{1}{4\pi }{F}_{14}{F}_2^4=-\frac{1}{4\pi }(E_x{E}_y-H_y{H}_x)\equiv -{\sigma }_{xy}$

per l'ultimo termine, ricordando che i termini diagonali sono nulli:

$\begin{array}{cc}{T}_{44}& =-\frac{1}{4\pi }{F}_{4\nu }{F}_4^{\nu }+\frac{1}{16\pi }{g}_{44}{F}^{\rho \nu }{F}_{\rho \nu }=\frac{1}{4\pi }(F_{41}{F}_1^4+F_{42}{F}_2^4+F_{43}{F}_4^3)+\\ & -\frac{1}{16\pi }(F^{12}{F}_{12}+F^{13}{F}_{13}+F^{14}{F}_{14}++F^{21}{F}_{21}+F^{23}{F}_{23}+F^{24}{F}_{24}+\\ & +F^{31}{F}_{31}+F^{32}{F}_{32}+F^{34}{F}_{34}++F^{41}{F}_{41}+F^{42}{F}_{42}+F^{43}{F}_{43})\end{array}$

ricordando la forma del tensore elettromagnetico, il termine si può riscrivere come:

$\begin{array}{cc}{T}_{44}& =-\frac{1}{4\pi }(-E_x^2-E_y^2-E_z^2)+\frac{1}{16\pi }{g}_{44}(-2H_x^2-2H_y^2-2H_z^2+2E_x^2+2E_y^2+2E_z^2)=\\ & =\frac{1}{4\pi }{E}^2-\frac{1}{16\pi }(-2H_x^2-2H_y^2-2H_z^2+2E_x^2+2E_y^2+2E_z^2)\\ & =\frac{1}{4\pi }{E}^2+\frac{1}{8\pi }{H}^2-\frac{1}{8\pi }{E}^2=\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2)\end{array}$

In definitiva il tensore energia-impulso espresso come matrice assume la forma:

$T_{\lambda \nu }\equiv \left(\begin{array}{cccc}-{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}& \frac{1}{c}{S}_x\\ -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}& \frac{1}{c}{S}_y\\ -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}& \frac{1}{c}{S}_z\\ \frac{1}{c}{S}_x& \frac{1}{c}{S}_y& \frac{1}{c}{S}_z& \mathscr{H}\end{array}\right)$

dove:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{ij}& =\frac{1}{4\pi }(E_i{E}_j+H_i{H}_j)-\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2){\delta }_{ij}\text{ (tensore degli sforzi di Maxwell)}\\ S_i& =\frac{1}{4\pi }\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\text{ (vettore di Poynting)}\\ \mathscr{H}& =\frac{1}{8\pi }(E^2+H^2)\text{ (energia)}\end{array}$

Si condideri ora la quarta componente della densità di forza:

${ℱ}_4={\partial }^{\lambda }{T}_{4\lambda }=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{T}_{44}-{\partial }^i{T}_{4i}$

integrando si trova:

$\underset{\text{lavoro}}{\underbrace{{\int }_{𝒱}{ℱ}_{4}dV}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{𝒱}{T}_{44}dV-{\int }_{𝒱}{\partial }^i{T}_{4i}dV\Rightarrow \frac{1}{c}\frac{d{E}_{\text{cariche}}}{dt}=-\frac{1}{c}\frac{d{E}_{\text{e.m.}}}{dt}-\frac{1}{c}{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{S}_{i}d{\sigma }_i$

Il lavoro rappresenta un'energia per unità di tempo (l'energia posseduta dalle cariche), mentre l'integrale di superficie rappresenta il flusso del vettore di Poynting, ovvero il flusso di energia uscente dal volume considerato. Ne consegue la legge di conservazione:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}(E_{\text{cariche}}+E_{\text{e.m.}})=-\frac{d}{dt}{E}_{\text{uscita}}\end{array}$

che esprime il fatto che se la somma dell'energia delle particelle e del campo elettromagnetico in un determinato volume non è costante, allora significa che esiste un flusso di energia uscente da questo volume.

Vediamo ora le componenti spaziali della densità di forza:

${ℱ}_i=-{\partial }^{\lambda }{T}_{i\lambda }=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{T}_{i4}-{\partial }^i{T}_{ij}$

e integrando:

${\int }_{𝒱}{ℱ}_{i}dV=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{𝒱}{T}_{i4}dV-{\int }_{𝒱}{\partial }^i{T}_{ij}dV\Rightarrow \frac{d}{dt}{P}_{i_{\text{cariche}}}=-\frac{d}{dt}{P}_{i_{\text{e.m.}}}-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{T}_{ij}{\sigma }_j$

ovvero:

$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}(P_{i_{\text{cariche}}}+P_{i_{\text{e.m.}}})=-{\int }_{\mathrm{\Sigma }}{T}_{ij}{\sigma }_j\end{array}$

Le due equazioni nel riquadro costituiscono i cosiddetti teoremi di bilancio del tensore $T_{\mu \nu }$.