Meccanica quantistica relativistica/Invarianza per trasformazioni

Consideriamo ora l'equazione di Dirac:

$[{\gamma }_{\mu }\cdot p_{\mu }+mc]\psi =0\text{ovvero}[\frac{\hslash }{i}{\gamma }_{\mu }{\partial }_{\mu }+mc]\psi =0$

La richiesta di covarianza per trasformazioni di Lorentz implica la ricerca di un operatore tale che $\psi (x)\to {\psi }^{\prime }(x^{\prime })$ in modo da soddisfare ancora la stessa equazione. Di conseguenza, questo equivale a cercare una matrice che soddisfi la trasformazione ${\psi }^{\prime }(x^{\prime })=S(\mathrm{\Lambda })\psi (x)$, e quindi che soddisfi anche le:

${\psi }^{\prime }(x^{\prime })=S(\mathrm{\Lambda })\psi ({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{x}^{\prime })$

$\psi (x)=S^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\psi }^{\prime }(x^{\prime })$

$\psi (x)=S({\mathrm{\Lambda }}^{-1}){\psi }^{\prime }(x)$

e cioè, in definitiva, che rispetti:

$S^{-1}(\mathrm{\Lambda })=S({\mathrm{\Lambda }}^{-1})$

Riscriviamo quindi l'equazione di Dirac in termini di ${\psi }^{\prime }$ e $x^{\prime }$:

$[\frac{\hslash }{i}{\tilde{\gamma }}_{\mu }\partial {\text{'}}_{\mu }+mc]{\psi }^{\prime }(x^{\prime })=0$

dove abbiamo fatto la posizione:

${\tilde{\gamma }}_{\mu }=u^{†}{\gamma }_{\mu }u{u}^{†}u=𝕀$

L'equazione di Dirac può essere espressa in questi termini:

$\frac{\hslash }{i}{\gamma }_{\mu }{\partial }_{\mu }{S}^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\psi }^{\prime }+mc{S}^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\psi }^{\prime }=0$

che moltiplicata a sinistra per $S(\mathrm{\Lambda })$ fornisce:

$\frac{\hslash }{i}S(\mathrm{\Lambda }){\gamma }_{\mu }{\partial }_{\mu }{S}^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\psi }^{\prime }+mc{\psi }^{\prime }=0$

ricordando che vale la relazione:

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=\frac{\partial }{\partial x{\text{'}}^{\nu }}\frac{\partial x{\text{'}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}$

l'equazione di sopra diventa:

$\frac{\hslash }{i}S(\mathrm{\Lambda }){\gamma }_{\mu }{S}^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }\partial {\text{'}}_{\nu }{\psi }^{\prime }+mc{\psi }^{\prime }=0$

la trasformazione $S(\mathrm{\Lambda })$ rimane quindi invariata l'equazione di Dirac se risulta verificata la relazione:

$S(\mathrm{\Lambda }){\gamma }_{\mu }{S}^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }={\gamma }_{\nu }$

siccome la matrice ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$ commuta con $S(\mathrm{\Lambda })$ in quanto agiscono su spazi diversi, mandiamo $\mathrm{\Lambda }$ in ${\mathrm{\Lambda }}^{-1}$ e moltiplichiamo poi per $\mathrm{\Lambda }$:

$S^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\gamma }_{\mu }S(\mathrm{\Lambda })={\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }{\gamma }_{\nu }$

Passiamo ora a considerare trasformazioni infinitesime:

${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }={\delta }_{\mu \nu }+ϵ{\omega }_{\mu \nu }$

$S(\mathrm{\Lambda })=𝕀-\frac{i}{4}ϵ{\sigma }_{\mu \nu }{\omega }_{\mu \nu }$

dove le ${\sigma }_{\mu \nu }$ sono quattro matrici antisimmetriche. Sostituiamo queste nella condizione su $S(\mathrm{\Lambda })$ di sopra e ricordando che gli indici muti possono essere rinominati:

$\begin{array}{cc}({\delta }_{\mu \nu }+ϵ{\omega }_{\mu \nu }){\gamma }_{\nu }& =(𝕀-\frac{i}{4}ϵ{\sigma }_{\alpha \beta }{\omega }_{\alpha \beta }){\gamma }_{\mu }(𝕀-\frac{i}{4}ϵ{\sigma }_{\lambda \rho }{\omega }_{\lambda \rho })\to \\ ϵ{\omega }_{\mu \nu }{\gamma }_{\nu }& =\frac{i}{4}ϵ({\sigma }_{\alpha \beta }{\omega }_{\alpha \beta }{\gamma }_{\mu }-{\gamma }_{\mu }{\sigma }_{\alpha \beta }{\omega }_{\alpha \beta })\to \\ ϵ{\omega }_{\mu \nu }{\gamma }_{\nu }& =\frac{i}{4}ϵ{\omega }_{\alpha \beta }({\sigma }_{\alpha \beta }{\gamma }_{\mu }-{\gamma }_{\mu }{\sigma }_{\alpha \beta })\to \\ \frac{{\omega }_{\alpha \beta }}{2}({\delta }_{\alpha \mu }{\gamma }_{\beta }-{\delta }_{{\beta }_{\mu }}{\gamma }_{\alpha })& =\frac{i}{4}ϵ{\omega }_{\alpha \beta }({\sigma }_{\alpha \beta }{\gamma }_{\mu }-{\gamma }_{\mu }{\sigma }_{\alpha \beta })\to \\ 2({\delta }_{\alpha \mu }{\gamma }_{\beta }-{\delta }_{{\beta }_{\mu }}{\gamma }_{\alpha })& =i({\sigma }_{\alpha \beta }{\gamma }_{\mu }-{\gamma }_{\mu }{\sigma }_{\alpha \beta })\end{array}$

che permette di ricavare la relazione per le matrici ${\sigma }_{\alpha \beta }$:

${\sigma }_{\alpha \beta }=\frac{i}{2}[{\gamma }_{\alpha },{\gamma }_{\beta }]<math>equindilerotazioniinfinitesimesonoespresseda:<math>S=𝕀-\frac{1}{8}({\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }-{\gamma }_{\nu }{\gamma }_{\mu })ϵ{\omega }_{\mu \nu }=𝕀-\frac{1}{4}{\gamma }_{\mu }{\gamma }_{\nu }ϵ{\omega }_{\mu \nu }$

Consideriamo ora la parte spaziale del generatore delle rotazioni:

$\overrightarrow{\gamma }=\beta \overrightarrow{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& \overrightarrow{\sigma }\\ \overrightarrow{\sigma }& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \overrightarrow{\sigma }\\ -\overrightarrow{\sigma }& 0\end{array}\right)$

ora, ricordando anche che vale ${\sigma }_i{\sigma }_j=i{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$:

${\gamma }_i{\gamma }_j=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ -{\sigma }_i& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_j\\ -{\sigma }_j& 0\end{array}\right)=i{ϵ}_{ijk}\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_k\\ -{\sigma }_k& 0\end{array}\right)\equiv i{ϵ}_{ijk}{\mathrm{\Sigma }}_k<math>dovecon<math>{\mathrm{\Sigma }}_k$ abbiamo indicato $\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_k\\ -{\sigma }_k& 0\end{array}\right)$, una sorta di matrice $\overrightarrow{\sigma }$ in quattro dimensioni. La parte spaziale risulta in definitiva:

$S=𝕀+\frac{i}{4}{ϵ}_{ijk}{\mathrm{\Sigma }}_kϵ{\omega }_{ij}$

che è una matrice simile a quelle di rotazione della $\psi$ per particelle con spin. La parte temporale fornisce:

${\gamma }_i{\gamma }_4=i\left(\begin{array}{cc}0& \overrightarrow{\sigma }\\ -\overrightarrow{\sigma }& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}𝕀& 0\\ 0& -𝕀\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{cc}0& -\overrightarrow{\sigma }\\ -\overrightarrow{\sigma }& 0\end{array}\right)=-i\left(\begin{array}{cc}0& \overrightarrow{\sigma }\\ \overrightarrow{\sigma }& 0\end{array}\right)\equiv -i\overrightarrow{\alpha }$

ma $c\overrightarrow{\alpha }$ risulta legata alla velocità, quindi le componenti temporali delle rotazioni infinitesime corrispondono alle trasformazioni di Lorentz propriamente dette.

Consideriamo ora l'equazione di Dirac scritta per le componenti ${\psi }^{†}=({\psi }_1^{\ast },{\psi }_2^{\ast },{\psi }_3^{\ast },{\psi }_4^{\ast })$. L'equazione si scrive in questo caso:

$-\frac{\hslash }{c}\frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{†}+\frac{\hslash }{i}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\psi }^{†}\alpha -{\psi }^{†}\beta mc=0$

siccome ${\beta }^2=𝕀$, l'equazione di sopra si può riscrivere come:

$\begin{array}{cc}\hslash {\partial }_4{\psi }^{†}{\beta }^2+\frac{\hslash }{i}{\psi }^{†}{\beta }^2\alpha -{\psi }^{†}\beta mc& =0\\ \frac{\hslash }{i}{\partial }_4{\psi }^{†}\beta {\gamma }_4+\frac{\hslash }{i}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\psi }^{†}\beta \overrightarrow{\gamma }-{\psi }^{†}\beta mc& =0\end{array}$

dove la quantità ${\psi }^{†}\beta$ rappresenta in sostanza la ${\psi }^{†}$ con le ultime due componenti cambiate di segno. Definendo $\overline{\psi }\equiv {\psi }^{†}\beta$, l'equazione assume la forma:

$\overline{\psi }({\gamma }_{\mu }{p}_{\mu }-mc)=0$

Ne consegue che quello che deve avere senso fisico è la quantità $\overline{\psi }$ e non la semplice ${\psi }^{†}$. Infatti, come abbiamo appena visto, è la quantità $\overline{\psi }$ sulla quale l'equazione di Dirac conserva la sua forma, ovvero risulta covariante. La densità di corrente per la $\overline{\psi }$ si può ricavare a partire dall'equazione scritta per la $\psi$, dove definendo $\varrho \equiv {\psi }^{†}\psi$ e $\overrightarrow{ȷ}\equiv c{\psi }^{†}\overrightarrow{\alpha }\psi$:

$\frac{\partial }{\partial t}\varrho =c\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left[{\psi }^{†}\overrightarrow{\alpha }\psi \right]=0$

Ma la densità di corrente e di probabilità possono essere scritte anche come:

$\overrightarrow{ȷ}=c{\psi }^{†}{\beta }^2\overrightarrow{\alpha }\psi =c\overline{\psi }\overrightarrow{\gamma }\psi$

$\varrho ={\psi }^{†}{\beta }^2\psi =\overline{\psi }\beta \psi =-i\overline{\psi }{\gamma }_4\psi$

ne consegue quindi che il quadrivettore $j_{\mu }=c\overline{\psi }{\gamma }_{\mu }\psi$ soddisfa anch'esso l'equazione di continuità:

${\partial }_{\mu }{j}_{\mu }=0$

Siamo ora pronti per vedere come trasforma la quantità $\overline{\psi }$ e quindi il quadrivettore corrente $j_{\mu }=c\overline{\psi }{\gamma }_{\mu }\psi$:

${\psi }^{\prime }(x^{\prime })=S(\mathrm{\Lambda })\psi (x)\psi {\text{'}}^{†}(x^{\prime })={\psi }^{†}(x)S^{†}(x)$

ma:

$\psi {\text{'}}^{†}(x^{\prime })\beta \equiv {\overline{\psi }}^{\prime }(x^{\prime })={\psi }^{†}{\beta }^2{S}^{†}(\mathrm{\Lambda })\beta \equiv \overline{\psi }(x)\beta S^{†}(\mathrm{\Lambda })\beta$

siccome è dimostrabile che $\beta S^{†}(\mathrm{\Lambda })\beta =S^{-1}(\mathrm{\Lambda })$, la precedente è riscrivibile nella forma:

$\overline{\psi }\text{'}(x^{\prime })=\overline{\psi }(x)S^{-1}(\mathrm{\Lambda })$

Il termine della corrente di probabilità assume allora la forma:

$\overline{\psi }{\gamma }_{\mu }\psi =\overline{\psi }{S}^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\gamma }_{\mu }S(\mathrm{\Lambda })\psi$

Ma $S^{-1}(\mathrm{\Lambda }){\gamma }_{\mu }S(\mathrm{\Lambda })$ è la relazione che definisce $S(\mathrm{\Lambda })$ e quindi il termine appena scritto equivale a $\overline{\psi }{\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }{\gamma }_{\nu }\psi$. La legge di trasformazione diventa pertanto:

$\overline{\psi }(x){\gamma }_{\mu }\psi (x)=\overline{\psi }(x){\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }{\gamma }_{\nu }\psi (x)={\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }\overline{\psi }(x){\gamma }_{\nu }\psi (x)$

e in definitiva:

$\overrightarrow{ȷ}{\text{'}}_{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }{\overrightarrow{ȷ}}_{\nu }$

ovvero trasforma esattamente come un quadrivettore.

L'insieme delle matrici combinazioni di ${\gamma }_{\mu }$, $\overline{\psi }$ e $\psi$ aventi proprietà definite di trasformazione (di Lorentz) sono sedici, si indicano complessivamente con $\mathrm{\Gamma }$ e sono denominate covarianti bilineari.