Meccanica quantistica relativistica/Operatore energia, impulso e momento angolare

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Dimostreremo ora che l'operatore $\hat{W}$ può essere effettivamente interpretato come operatore energia, in analogia all'equazione di Schrödinger.

Dalla sua definizione, il valore medio è dato da:

$⟨ \hat{W} ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\vec{f}}_{k}^{*} \hat{W} {\vec{f}}_{k} d \vec{k} = \int_{- \infty}^{+ \infty} k {\vec{f}}_{k}^{*} {\vec{f}}_{k} d \vec{k}$

Si noti incidentalmente che per particelle a massa nulla, siccome vale $E^{2} - k^{2} = 0$ , la relazione risulta automaticamente dimostrata.

L'energia del campo elettromagnetico è data da:

$ℰ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} ({\vec{E}}^{2} + {\vec{H}}^{2}) d \vec{r} = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} ({\vec{E}}_{k} \cdot {\vec{E}}_{k^{'}} + {\vec{H}}_{k} \cdot {\vec{H}}_{k^{'}}) e^{i (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) \cdot \vec{r}} d \vec{k} d {\vec{k}}^{'} d \vec{r}$

e siccome vale la relazione:

$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} = (2 π)^{2} δ (\vec{k})$

si ricava per l'energia:

$ℰ = \frac{(2 π)^{3}}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} ({\vec{E}}_{k} \cdot {\vec{E}}_{- k} + {\vec{H}}_{k} \cdot {\vec{H}}_{- k}) d \vec{k}$

ma ${\vec{H}}_{k} = \frac{i}{k^{2}} \vec{k} \times {\vec{\dot{E}}}_{k}$ per cui risulta:^[1]

${\vec{H}}_{k} \cdot {\vec{H}}_{- k} = \frac{1}{k^{2}} {\vec{\dot{E}}}_{k} {\vec{\dot{E}}}_{- k}$

e si ottiene:

$ℰ = 4 π^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} ({\vec{E}}_{k} \cdot {\vec{E}}_{- k} + \frac{1}{k^{2}} {\vec{\dot{E}}}_{k} {\vec{\dot{E}}}_{- k}) d \vec{k}$

In termini di $\vec{f}$ risulta:

$ℰ = 4 π^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} N^{2} (k) [({\vec{f}}_{k} + {\vec{f}}_{- k}^{*}) ({\vec{f}}_{- k} + {\vec{f}}_{k}^{*}) - ({\vec{f}}_{k} - {\vec{f}}_{- k}^{*}) ({\vec{f}}_{- k} - {\vec{f}}_{k}^{*})] d \vec{k}$

ovvero:

$\begin{matrix} ℰ & = 4 π^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} N^{2} (k) [{\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{- k} + {\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{k}^{*} + {\vec{f}}_{- k} \cdot {\vec{f}}_{- k}^{*} + {\vec{f}}_{- k}^{*} \cdot {\vec{f}}_{k}^{*} - \\ - {\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{- k} + {\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{k}^{*} + {\vec{f}}_{- k}^{*} {\vec{f}}_{- k} - {\vec{f}}_{- k}^{*} \cdot {\vec{f}}_{k}^{*}] d \vec{k} = \\ = 16 π^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} N^{2} (k) {\vec{f}}_{k}^{*} \cdot {\vec{f}}_{k} d \vec{k} \end{matrix}$

e questa è esattamente la definizione di valor medio di $\hat{W}$ a patto di porre:

$N (k) = \sqrt{\frac{k}{4 π^{3}}}$

e cioè l'operatore $\hat{W}$ rappresenta effettivamente l'energia se:

${\begin{matrix} {\vec{E}}_{k} & = \sqrt{\frac{k}{4 π^{3}}} ({\vec{f}}_{k} + {\vec{f}}_{- k}^{*}) \\ {\vec{\dot{E}}}_{k} & = - \frac{i}{4 π} \sqrt{\frac{k^{3}}{π}} ({\vec{f}}_{k} + {\vec{f}}_{- k}^{*}) \end{matrix}$

Sia ora una soluzione con $k = ω$ , cioè del tipo $f_{k} = f_{k}^{0} e^{- i ω t}$ . L'energia è quindi fissata da $ω$ :

$⟨ ω ⟩ = ω \int_{- \infty}^{+ \infty} {\vec{f}}_{k}^{*} \cdot {\vec{f}}_{k} d \vec{k}$

il che implica che le ${\vec{f}}_{k}$ siano normalizzate.

Riscriviamo ora l'impulso associato al campo. Il vettore di Poynting ha la forma:

$\vec{p} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\vec{E} \times \vec{H}) d \vec{r}$

ovvero:

$\vec{p} = \int_{- \infty}^{+ \infty} [{\vec{E}}_{k} \times {\vec{H}}_{k^{'}}] e^{i (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) \cdot \vec{r}} d \vec{k} d {\vec{k}}^{'} d \vec{r} = 2 π^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} ({\vec{E}}_{k} \times {\vec{H}}_{k}) d \vec{k}$

ma:

${\vec{E}}_{k} \times {\vec{H}}_{k} = {\vec{E}}_{k} \times (- \frac{i}{k^{2}} \vec{k} \times {\vec{\dot{E}}}_{- k})$

e l'ultimo termine per la regola sul prodotto triplo fornisce:

$- \frac{i}{k^{2}} ({\vec{E}}_{k} \cdot {\vec{\dot{E}}}_{- k}) \vec{k}$

da cui:

$\vec{p} = - (i 2 π^{3}) \int_{- \infty}^{+ \infty} ({\vec{E}}_{k} \cdot {\vec{\dot{E}}}_{- k}) \frac{\vec{k}}{k^{2}} d \vec{k}$

ed esprimendo in questa equazione i campi in termini delle ${\vec{f}}_{k}$ :

$\begin{matrix} \vec{p} & = - (i 2 π^{3}) \int_{- \infty}^{+ \infty} N^{2} (k) ({\vec{f}}_{k} + {\vec{f}}_{- k}^{*}) i k ({\vec{f}}_{- k} - {\vec{f}}_{k}^{*}) d \vec{k} = \\ = \frac{(2 π)^{3}}{16 π^{3}} \int_{- \infty}^{+ \infty} k^{2} \frac{\vec{k}}{k^{2}} [{\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{- k} - {\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{k}^{*} + {\vec{f}}_{- k}^{*} {\vec{f}}_{- k} - {\vec{f}}_{- k}^{*} {\vec{f}}_{k}^{*}] d \vec{k} \end{matrix}$

ma $({\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{- k})^{*} = ({\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{- k})$ in quanto sono reali. Si ottiene pertanto:

$\vec{p} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \vec{k} ({\vec{f}}_{k} \cdot {\vec{f}}_{k}^{*}) d \vec{k}$

e quindi $\vec{k}$ è proprio l'impulso associato al fotone. Nello spazio delle $x$ :

$\vec{F} (\vec{r}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\vec{f}}_{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d \vec{k}$

ma in realtà la $\vec{F} (\vec{r})$ non è interpretabile dal punto di vista probabilistico. Infatti, per poter localizzare un fotone, questo deve necessariamente interagire con i campi $\vec{H}$ :

${\vec{E}}_{k} = N (\vec{k}) ({\vec{f}}_{k} + {\vec{f}}_{- k}^{*}) \vec{E} (\vec{r}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\vec{E}}_{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d \vec{k}$

La presenza di una radice di $k$ ^[2] ci conduce infatti a una $\sqrt[4]{\nabla^{2}}$ e questo significa che determinare la $\vec{F} (\vec{r})$ non è sufficiente per determinare i campi $\vec{E} (\vec{r})$ e $\vec{H} (\vec{r})$ . In altri termini: il fotone non è localizzabile esattamente e addirittura per lunghezze d'onda inferiori a quelle del fotone non ha nemmeno senso il concetto di localizzazione.

Consideriamo ora il momento angolare associato al campo elettromagnetico.

$\vec{M} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\vec{r} \times \vec{p}) d \vec{r} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \vec{r} \times (\vec{E} \times \vec{H}) d \vec{r} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \vec{r} \times ({\vec{E}}_{k} \times {\vec{H}}_{k^{'}}) e^{i (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) \cdot \vec{r}} d \vec{k} d {\vec{k}}^{'} d \vec{r}$

in questo caso non si può estrarre la delta dall'integrale. Però, notando che:

$\int_{- \infty}^{+ \infty} \vec{r} e^{i (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) \cdot \vec{r}} d \vec{r} = - i {\vec{\nabla}}_{k^{'}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) \cdot \vec{r}} d \vec{r} = - i (2 π)^{3} {\vec{\nabla}}_{k^{'}} δ^{3} (\vec{k} + {\vec{k}}^{'})$

e sostituendo:

$\vec{M} = - i (2 π)^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} [{\vec{\nabla}}_{k^{'}} δ^{3} (\vec{k} + {\vec{k}}^{'})] \times ({\vec{E}}_{k} \times {\vec{H}}_{k^{'}}) d \vec{k} d {\vec{k}}^{'}$

si può quindi integrare per parti e (trascurando i termini a infinito che si annullano) ottenere:

$\vec{M} = - i (2 π)^{3} \int_{- \infty}^{+ \infty} δ^{3} (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) {\vec{\nabla}}_{k^{'}} \times ({\vec{E}}_{k} \times {\vec{H}}_{k^{'}}) d \vec{k} d {\vec{k}}^{'}$

che riscritta in termini delle ${\vec{f}}_{k}$ :

$\vec{M} = \int_{- \infty}^{+ \infty} {- i [\vec{k} \times \vec{\nabla} ({\vec{f}}_{k}^{* c} \cdot {\vec{f}}_{k})] - i ({\vec{f}}_{k}^{*} \times {\vec{f}}_{k})} d \vec{k}$

dove con la notazione ${\vec{f}}_{k}^{* c}$ si intende "considerato costante sotto l'operatore $\vec{\nabla}$ ".

Questa equazione rappresenta di fatto il valore medio dell'operatore momento angolare:

$M_{j} = \int_{- \infty}^{+ \infty} [- i {\vec{f}}_{k}^{* i} {(\vec{k} \times \vec{\nabla})}_{j} {\vec{f}}_{k}^{i} - i ϵ_{i l j} {\vec{f}}_{k}^{* i} {\vec{f}}_{k}^{l}] d \vec{k}$

In questa equazione può essere facilmente riconosciuto un termine che rappresenta il noto momento angolare:

$\begin{matrix} \hat{M} = \vec{k} \times \vec{\nabla} Operatore Momento Angolare \end{matrix}$

più un altro termine di momento angolare $i ϵ_{i l j} {\vec{f}}_{k}^{* i} {\vec{f}}_{k}^{l}$ che deve pertanto essere riconosciuto come il momento angolare associato allo spin, il cui operatore è quindi definito da:

$\begin{matrix} (s_{i} {\vec{f}}_{k})_{j} = - (s_{j} {\vec{f}}_{k})_{i} = - i ϵ_{i l j} {\vec{f}}_{k}^{l} Operatore spin \end{matrix}$

Formalmente quindi:

$\begin{matrix} \vec{M} = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\vec{f}}_{k}^{*} [- i \vec{k} \times \vec{\nabla} + \vec{s}] {\vec{f}}_{k} d \vec{k} \end{matrix}$

Note

↑ Si è utilizzata la proprietà $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ .
↑ Presente nel fattore $N (\vec{k})$ .

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[1] Si è utilizzata la proprietà $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ .

[2] Presente nel fattore $N (\vec{k})$ .

[1]

[2]

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