Meccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettromagnetico

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Si consideri il campo elettromagnetico $A_{μ}$ in assenza di sorgenti. Esso soddisfa l'equazione $◻ A_{μ} = 0$ . Data l'arbitrarietà della scelta dei potenziali, si consideri la gauge di Lorenz in cui $ϕ = 0$ e di conseguenza il campo elettromagnetico è descritto solo dal potenziale vettore $\vec{A}$ che verifica le equazioni:

$◻ \vec{A} = 0 \nabla \cdot \vec{A} = 0$

Si osservi subito che:

$◻ e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} = (- \frac{ω^{2}}{c^{2}} + | \vec{k} |^{2}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}$

per cui se vale la relazione:

$\frac{ω^{2}}{c^{2}} = {\vec{k}}^{2}$

una soluzione della prima delle equazioni sul potenziale vettore è proprio $\vec{e} (\vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}$ , dove $\vec{e} (\vec{k})$ è il versore indipendente dalla direzione di polarizzazione. Siccome poi vale anche:

$\begin{matrix} \vec{\nabla} \cdot \vec{e} (\vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} = [\vec{\nabla} \cdot \vec{e} (\vec{k})] e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} + \vec{e} (\vec{k}) [\vec{\nabla} \cdot e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}] = \\ = 0 + \vec{e} (\vec{k}) [\vec{\nabla} \cdot e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}] = i e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} \vec{k} \cdot \vec{e} \end{matrix}$

si ha che questa relazione soddisfa anche la seconda equazione sul potenziale vettore se vale $\vec{k} \cdot \vec{e} = 0$ , ovvero se le onde elettromagnetiche sono trasverse. In uno spazio tridimensionale i vettori ortogonali a uno dato sono solo due, per cui è più esplicito sostituire ${\vec{e}}_{α} (\vec{k})$ a $\vec{e} (\vec{k})$ , dove l'indice $α$ può assumere solo due valori in corrispondenza delle due possibili polarizzazioni. Per questo, e siccome la prima è lineare omogenea, la sua soluzione generale reale si scrive:

$\vec{A} (\vec{r}, t) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{α, \vec{k}} [a (α, \vec{k}) {\vec{e}}_{α} (\vec{k} e^{i (\vec{k}) \cdot \vec{r} - ω t)} + a^{*} (α, \vec{k}) {\vec{e}}_{α} (\vec{k}) e^{- i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}]$

dove $a (α, \vec{k})$ sono dei coefficienti da determinare in base alle condizioni al contorno.^[1] Il fattore $1 / \sqrt{V}$ è un conveniente fattore di normalizzazione, essendo $V$ il volume di spazio in cui si sta considerando il campo elettromagnetico. Introduciamo le variabili dinamiche:

$a_{α, \vec{k}} = a (α, \vec{k}) e^{- i ω t}$

e le loro complesse coniugate. In questo modo, la soluzione generale di sopra si scrive in maniera più concisa:

$\vec{A} (\vec{r}, t) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{α, \vec{k}} {\vec{e}}_{α} (\vec{k}) [a_{α, \vec{k}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + a_{α, \vec{k}}^{*} e^{- i \vec{k} \cdot \vec{r}}]$

Dalle relazioni per $ϕ = 0$ si possono poi ricavare i campi elettrico e magnetico:

$\begin{matrix} \vec{ℰ} & = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{α, \vec{k}} \frac{ω}{c} {\vec{e}}_{α} (\vec{k}) [i a_{α, \vec{k}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} - i a_{α, \vec{k}}^{*} e^{- i \vec{k} \cdot \vec{r}}] \\ ℋ & = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{α, \vec{k}} \vec{k} \times {\vec{e}}_{α} (\vec{k}) [i a_{α, \vec{k}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} - i a_{α, \vec{k}}^{*} e^{- i \vec{k} \cdot \vec{r}}] \end{matrix}$

Si vuole ora calcolare esplicitamente l'hamiltoniana del campo elettromagnetico che, come è noto, è data da:

$H = \frac{1}{8 π} \int_{V} (ℰ^{2} + ℋ^{2}) d 𝒱$

e a questo fine occorre calcolare a partire dalle equazioni precedenti $ℰ^{2}$ e $ℋ^{2}$ . Per fare questo si osservi che in queste equazioni i campi sono scritti in termini di serie di Fourier complessa per la quale vale l'uguaglianza di Bessel^[2] e quindi:

$\begin{matrix} {\vec{ℰ}}^{2} & = \frac{1}{V} \sum_{α, \vec{k}} 2 \frac{ω^{2}}{c^{2}} a_{α, \vec{k}} a_{α, \vec{k}}^{*} = \frac{2}{V} \sum_{α, \vec{k}} \frac{ω^{2}}{c^{2}} [{(ℜ 𝔢 a_{α, \vec{k}})}^{2} + {(ℑ 𝔪 a_{α, \vec{k}})}^{2}] \\ {\vec{ℋ}}^{2} & = \frac{1}{V} \sum_{α, \vec{k}} 2 {\vec{k}}^{2} a_{α, \vec{k}} a_{α, \vec{k}}^{*} = \frac{2}{V} \sum_{α, \vec{k}} {\vec{k}}^{2} [{(ℜ 𝔢 a_{α, \vec{k}})}^{2} + {(ℑ 𝔪 a_{α, \vec{k}})}^{2}] \end{matrix}$

per cui, non dipendendo da ${\vec{ℰ}}^{2}$ , ${\vec{ℋ}}^{2}$ e da $\vec{r}$ , si ha immediatamente:^[3]

$H = \frac{1}{2 π} \frac{1}{c^{2}} \sum_{α, \vec{k}} ω^{2} [{(ℜ 𝔢 a_{α, \vec{k}})}^{2} + {(ℑ 𝔪 a_{α, \vec{k}})}^{2}]$

Introducendo ora le variabili dinamiche:

$\begin{matrix} Q_{α, \vec{k}} & = a_{α, \vec{k}} + a_{α, \vec{k}}^{*} = 2 ℜ 𝔢 a_{α, \vec{k}} \\ P_{α, \vec{k}} & = Q_{α, \vec{k}}^{*} = - i ω (a_{α, \vec{k}} + a_{α, \vec{k}}^{*}) = 2 ω ℑ 𝔪 a_{α, \vec{k}} \end{matrix}$

l'hamiltoniana del campo magnetico si scrive come:

$H = \frac{1}{2 π} \frac{1}{c^{2}} \sum_{α, \vec{k}} (P_{α, \vec{k}}^{2} + ω^{2} Q_{α, \vec{k}}^{2})$

Questa forma è probante: essa si interpreta dicendo che l'energia del campo elettromagnetico è data dalla somma delle energie di tanti oscillatori armonici di frequenze $ω$ corrispondenti ai modi normali. A questo punto, la quantizzazione del campo elettromagnetico può effettuarsi introducendo le relazioni di commutazione:

$[Q_{α, \vec{k}}, P_{α^{'}, {\vec{k}}^{'}}] = i ℏ δ_{α, α^{'}} δ_{\vec{k}, {\vec{k}}^{'}}$

Da queste relazioni e dalle relazioni su $Q_{α, \vec{k}}$ e $P_{α, \vec{k}}$ , che si possono anche scrivere nella forma:

$\begin{matrix} a_{α, \vec{k}} & = \frac{1}{2} (Q_{α, \vec{k}} + i P_{α, \vec{k}}) \\ a_{α, \vec{k}}^{†} & = \frac{1}{2} (Q_{α, \vec{k}} - i P_{α, \vec{k}}) \end{matrix}$

si ricava l'altra relazione di commutazione:

$[a_{α, \vec{k}}, a_{α^{'}, {\vec{k}}^{'}}^{†}] = \frac{ℏ}{2 ω} δ_{α, α^{'}} δ_{\vec{k}, {\vec{k}}^{'}}$

Quantisticamente, il campo elettromagnetico è quindi descritto dall'operatore:

$\vec{A} (\vec{r}, t) = \sum_{α, \vec{k}} [a (α, \vec{k}) \vec{e} (α, \vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} + a^{†} (α, \vec{k}) \vec{e} (α, \vec{k}) e^{- (i \vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}]$

Si osservi che essendo:

$\begin{matrix} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \vec{e} (α, \vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} & = ℏ ω \vec{e} (α, \vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} \\ - i ℏ \vec{\nabla} \vec{e} (α, \vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} & = ℏ \vec{k} \vec{e} (α, \vec{k}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} \\ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \vec{e} (α, \vec{k}) e^{- (i \vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} & = - ℏ ω \vec{e} (α, \vec{k}) e^{- (i \vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} \\ - i ℏ \vec{\nabla} \vec{e} (α, \vec{k}) e^{- (i \vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} & = - ℏ \vec{k} \vec{e} (α, \vec{k}) e^{- (i \vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} \end{matrix}$

il termine $\vec{e} (α, \vec{k}) e^{\pm i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}$ si può interpretare come la funzione d'onda del quanto del campo elettromagnetico (fotone), corrispondente rispettivamente a energia $\pm ℏ ω$ e impulso $\pm ℏ \vec{k}$ . Ancora, si può considerare $a^{†} (α, \vec{k})$ e $a (α, \vec{k})$ rispettivamente come l'operatore di creazione e distruzione di un fotone di energia $ℏ ω$ .^[4] Così il campo elettromagnetico è scritto come una somma di operatori di distruzione per la funzione d'onda del fotone $ℏ ω$ più un operatore di distruzione del fotone $- ℏ ω$ .^[5] Analogamente a quanto fatto per l'energia, si può poi calcolare l'impulso $\vec{P} = \frac{1}{4 π} \int_{V} \frac{\vec{ℰ} \times \vec{ℋ}}{2} d 𝒱$ del campo elettromagnetico, si trova in maniera analoga:^[6]

$\vec{P} = \frac{1}{8 π c^{2}} \sum_{α, \vec{k}} \vec{k} (a_{α, \vec{k}} a_{α, \vec{k}}^{†} + a_{α, \vec{k}}^{†} a_{α, \vec{k}})$

Gli autovalori di energia e impulso sono allora dati da:

$\begin{matrix} H & = \frac{1}{4 π c^{2}} \sum_{α, \vec{k}} ℏ ω (n_{α, \vec{k}} + \frac{1}{2}) \\ \vec{P} & = \frac{1}{4 π c^{2}} \sum_{α, \vec{k}} ℏ \vec{k} (n_{α, \vec{k}} + \frac{1}{2}) \end{matrix}$

Il termine $n_{α, \vec{k}}$ , come noto, è un numero intero che in questo caso andrà interpretato come numero di fotoni di energia $ℏ ω$ , impulso $ℏ \vec{k}$ e polarizzazione $α$ . Si osservi che l'energia in assenza di fotoni anziché essere nulla è infinita, questa incongruenza si può risolvere elimininando (rigorosamente) il termine $1 / 2$ . Questo inconveniente invece non si ha per l'impulso, in quanto se un fotone può avere impulso $ℏ \vec{k}$ , ha anche $- ℏ \vec{k}$ e così per $n_{α, \vec{k}}$ si ha $\vec{P} = 0$ .

Note

↑ In generale, in maniera più corretta, al posto della sommatoria in $\vec{k}$ si sarebbe dovuto utilizzare un integrale in $d k$ , in quanto $\vec{k}$ può appunto assumere valori continui. Tuttavia, per semplicità formale si assumerà che possa assumere solo valori discreti che fra l'altro è il caso di una cavità risonante, come noto.
↑ Il quadrato della somma di una serie di Fourier è uguale alla somma dei moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo di Fourier stesso.
↑ Dalla relazione di dispersione $ω^{2} = {\vec{k}}^{2} c^{2}$ .
↑ O, inversamente, un operatore rispettivamente di distruzione e creazione di un fotone di energia $- ℏ ω$ .
↑ Naturalmente, si intende che gli operatori $a_{α, \vec{k}}$ e $a_{α, \vec{k}}^{†}$ non agiscano sulle funzioni d'onda per le quali sono moltiplicati a sinistra.
↑ Vale la relazione: $\vec{P} = \frac{k}{c} \hat{k}$ .

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[1] In generale, in maniera più corretta, al posto della sommatoria in $\vec{k}$ si sarebbe dovuto utilizzare un integrale in $d k$ , in quanto $\vec{k}$ può appunto assumere valori continui. Tuttavia, per semplicità formale si assumerà che possa assumere solo valori discreti che fra l'altro è il caso di una cavità risonante, come noto.

[2] Il quadrato della somma di una serie di Fourier è uguale alla somma dei moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo di Fourier stesso.

[3] Dalla relazione di dispersione $ω^{2} = {\vec{k}}^{2} c^{2}$ .

[4] O, inversamente, un operatore rispettivamente di distruzione e creazione di un fotone di energia $- ℏ ω$ .

[5] Naturalmente, si intende che gli operatori $a_{α, \vec{k}}$ e $a_{α, \vec{k}}^{†}$ non agiscano sulle funzioni d'onda per le quali sono moltiplicati a sinistra.

[6] Vale la relazione: $\vec{P} = \frac{k}{c} \hat{k}$ .

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