Meccanica razionale/Appendice (cap 1°)

Appendice (cap 1°)

In aggiunta a quanto stato detto nel Capitolo 1°, vogliamo ricordare alcuni teoremi fondamentali relativi all'integrazione dei campi vettoriali:

Teorema di Gauss

Se $\overrightarrow{𝐅}(x,y,z)$ è un campo vettoriale continuo fino almeno alla derivata prima e se $S$ è una superficie chiusa vale il seguente teorema:

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{𝐅}\times \overrightarrow{𝐧}ds=\underset{V}{\iiint }div\overrightarrow{𝐅}dv$

Essendo n il versore della normale alla superficie nel punto $x,y,z,$ mentre

$div\overrightarrow{𝐅}=\frac{\delta F_x}{\delta x}+\frac{\delta F_y}{\delta y}+\frac{\delta F_z}{\delta z}$

come già è stato esposto nel Capitolo 1°.

Cioè il flusso del vettore $\overrightarrow{𝐅}$ è uguale all'integrale della divergenza al volume racchiuso in S.

Teorema di Stokes

Nelle ipotesi del paragrafo 1 si dimostra che se $l$ è una linea chiusa nello soazio e $S$ una superficie chiusa comunque abbracciata da $l$ possiamo dire che:

$\underset{S}{\iint }rot\overrightarrow{𝐅}\times \overrightarrow{𝐧}dS={\oint }_l\overrightarrow{𝐅}\times d\overrightarrow{𝐥}$

L'integrale ${\oint }_l\overrightarrow{𝐅}\times d\overrightarrow{𝐥}={\oint }_l(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)$ si chiama circolazione del vettore $\overrightarrow{𝐅}$: nel caso che $\overrightarrow{𝐅}$ è una forza la circolazione coincide con il lavoro della forza esteso alla linea chiusa.

Teorema di Green

Nelle ipotesi già scritte il teorema di Green stabilisce che se $U=U(x,y,z)$ e $V=V(x,y,z)$ sono due funzioni scalari l'integrale:

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{𝐧}\times U\overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}V=\iiint Udiv\overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}V+\iiint \overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}U\times \overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}Vdv$

e ricordando dal capitolo 1° che:

$\overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}V=\mathrm{\nabla }V$

$\overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}U=\mathrm{\nabla }U$

$div\overrightarrow{𝐠𝐫𝐚𝐝}V={\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{{\delta }^{2}V}{\delta x^2}+\frac{{\delta }^{2}V}{\delta y^2}+\frac{{\delta }^{2}V}{\delta z^2}$

Il teorema di Green si può scrivere in forma simbolica:

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{𝐮}\times U\cdot \mathrm{\nabla }V=\underset{V}{\iiint }U{\mathrm{\nabla }}^{2}Vdv+\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }U\times \mathrm{\nabla }Vdv$