Meccanica razionale/Cinematica/Sistemi rigidi

Template:Meccanica razionale Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazione

Chiameremo con $S_1$ e $S_2$ due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della $S_1$, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della $S_2$.

Se $A_1$ e $A_2$ sono due punti corrispondenti, il vettore $\overline{{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}}$ dicesi lo spostamento del punto $A_1$. Se:

$\overline{{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}}=\overline{{𝐁}_{\mathrm{𝟏}}{𝐁}_{\mathrm{𝟐}}}=.....=\overline{{𝐍}_{\mathrm{𝟏}}{𝐍}_{\mathrm{𝟐}}}=\overline{𝐚}$

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione $S_2$ è dedotta da $S_1$ mediante una traslazione semplice di vettore $\overrightarrow{a}$.Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra $S_1$ $S_2$, vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di $S_1$ ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra $S_1$ e $S_2$, poiché

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di $S_1$ descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Si Consideri il caso limite di moto rigido puramente traslatorio su traiettoria circolare (fig.1), presi due punti qualsiasi A e B sul corpo rigido, notiamo come la retta che li unisce si mantenga sempre parallela a se stessa. Contrariamente in (fig.2) si vede il corpo essere dotato di moto rotatorio attorno al suo asse e tutti i punti (Elementi) che lo compongono si muovono su circonferenze concentriche.

Moto rotatorio

Supponiamo ora che le due figure componenti $S_1$ e $S_2$ abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ore un punto $P_1$ di $S_1$ non appartenente all'asse, e sia $P_2$ il suo corrispondente in $S_2$. Mandiamo dal punto $P_1$ la normale O$P_1$ all'asse, e conduciamo anche la O$P_2$, la O$P_2$ risulterà, essendo $P_2$ corrispondente di $P_1$, normale all'asse ed $O{S}_2=O{S}_1$.

Allora facendo descrivere a $P_1$ l'arco di cerchio $P_1{P}_2$, la figura $S_1$ si sovrapporrà ad $S_2$, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano ${\alpha }_1$ formato da $P_1$ e l'asse, per andare a coincidere con il piano ${\alpha }_2$ formato da $P_2$ e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolare

Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se $\theta$ è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

$\dot{\theta }=\frac{d}{dt}\theta (t)=\omega$

Nel caso che

$\frac{d^2}{d{t}^2}\theta (t)=\ddot{\theta }=0$

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettoriale

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ che ha per modulo $\omega$, direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

Velocità di un punto P in un moto rotatorio.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP}$

Moto elicoidale

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza $\overrightarrow{a}$, si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con $\overrightarrow{v_p}$ e $\overrightarrow{v_0}$ le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{OP}$

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento $\mathit{\xi }$, $\mathit{\eta },$, $\mathit{\zeta }$, e se $\widehat{𝐢}$, $\widehat{𝐣}$, $\widehat{𝐤}$ sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

$\overrightarrow{OP}=x\widehat{𝐢}+y\widehat{𝐣}+z\widehat{𝐤}$

Per cui la velocità di P, $\overrightarrow{v_p}$, è uguale a $\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}P}$, mentre quella di O, $\overrightarrow{v_0}$, è data da $\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}O}$. Posto ciò abbiamo che:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{OP}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}P}-\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_{1}O}=\overrightarrow{v_p}-\overrightarrow{v_0}$

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+\dot{x}\widehat{𝐢}+\dot{y}\widehat{𝐣}+\dot{z}\widehat{𝐤}+x\frac{d}{dt}\widehat{𝐢}+y\frac{d}{dt}\widehat{𝐣}+z\frac{d}{dt}\widehat{𝐤}$

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$. La (8) si riduce allora a:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+x\frac{d}{dt}\widehat{𝐢}+y\frac{d}{dt}\widehat{𝐣}+z\frac{d}{dt}\widehat{𝐤}$

Vogliamo ora dimostrare che:

$\{\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\widehat{𝐢}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \widehat{𝐢}\\ \frac{d}{dt}\widehat{𝐣}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \widehat{𝐣}\\ \frac{d}{dt}\widehat{𝐤}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \widehat{𝐤}\end{array}$

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale	prodotto scalare
$\widehat{𝐢}\wedge \widehat{𝐢}=\widehat{𝐣}\wedge \widehat{𝐣}=\widehat{𝐤}\wedge \widehat{𝐤}=0$	$\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐢}=\widehat{𝐣}\times \widehat{𝐣}=\widehat{𝐤}\times \widehat{𝐤}=1$
$\widehat{𝐢}\wedge \widehat{𝐣}=-\widehat{𝐣}\wedge \widehat{𝐢}=\widehat{𝐤}$	$\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐣}=0$
$\widehat{𝐣}\wedge \widehat{𝐤}=-\widehat{𝐤}\wedge \widehat{𝐣}=\widehat{𝐢}$	$\widehat{𝐣}\times \widehat{𝐤}=0$

Inoltre possiamo scrivere:

$\frac{d}{dt}(\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐢})=\widehat{𝐢}\times \frac{d\widehat{𝐢}}{dt}+\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐢}=2(\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐢})=0$

$\frac{d}{dt}(\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐣})=\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐣}+\widehat{𝐢}\times \frac{d\widehat{𝐣}}{dt}=0$

$\frac{d}{dt}(\widehat{𝐣}\times \widehat{𝐤})=\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}\times \widehat{𝐤}+\widehat{𝐣}\times \frac{d\widehat{𝐤}}{dt}=0$

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐢}=0$
$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐣}=-\widehat{𝐢}\times \frac{d\widehat{𝐣}}{dt}$
$\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}\times \widehat{𝐤}=-\widehat{𝐣}\times \frac{d\widehat{𝐤}}{dt}$

Il vettore $\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}$ potrà essere espresso in generale come:

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}=a\widehat{𝐢}+b\widehat{𝐣}+c\widehat{𝐤}$

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per $\widehat{𝐢}$, $\widehat{𝐣}$, $\widehat{𝐤}$ otteniamo:

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐢}=a\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐢}+b\widehat{𝐣}\times \widehat{𝐢}+c\widehat{𝐤}\times \widehat{𝐢}=a=0$

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐣}=a\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐣}+b\widehat{𝐣}\times \widehat{𝐣}+c\widehat{𝐤}\times \widehat{𝐣}=b$

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐤}=a\widehat{𝐢}\times \widehat{𝐤}+b\widehat{𝐣}\times \widehat{𝐤}+c\widehat{𝐤}\times \widehat{𝐤}=c$

Si ottiene

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}=(\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐣})\cdot \widehat{𝐣}+(\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐤})\cdot \widehat{𝐤}$

$=(\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}\times \widehat{𝐤})\cdot \widehat{𝐢}\wedge \widehat{𝐢}+(\frac{d\widehat{𝐤}}{dt}\times \widehat{𝐢})\cdot \widehat{𝐣}\wedge \widehat{𝐢}+(\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times j)\cdot \widehat{𝐤}\wedge i$.

E se definiamo:

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=(\frac{d\widehat{𝐣}}{dt}\times \widehat{𝐤})\cdot \widehat{𝐢}+(\frac{d\widehat{𝐤}}{dt}\times \widehat{𝐢})\cdot \widehat{𝐣}+(\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}\times \widehat{𝐣})\cdot \widehat{𝐤}$

otteniamo le (10):

$\frac{d\widehat{𝐢}}{dt}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \widehat{𝐢}$ ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigido

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{v_p}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \frac{d}{dt}\overrightarrow{(OP)}+\frac{d}{dt}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

Cioè:

$\overrightarrow{a_p}=\overrightarrow{a_0}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}+\frac{d}{dt}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

In quanto per le (13) si ha:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{(OP)}=\overrightarrow{v_p}-\overrightarrow{V_0}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)}$

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge (\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{(OP)})=(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times \overrightarrow{(OP)})\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}-(\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times \overrightarrow{\mathrm{\Omega }})\cdot \overrightarrow{(OP)}$

Le espressioni cartesiane delle componenti di $\overrightarrow{a_p}$ rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

$\ddot{x}=\dot{u_0}+(px+qy+rz)p-(p^2+q^2+r^2)x+(\dot{q}z-\dot{r}y)$

$\ddot{y}=\dot{v_0}+(px+qy+rz)q-(p^2+q^2+r^2)y+(\dot{r}x-\dot{p}z)$

$\ddot{z}=\dot{w_o}+(px+qy+rz)r-(p^2+q^2+r^2)z+(\dot{p}y-\dot{q}x)$

Essendo $p,q,r$ le componenti di $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ rispetto agli assi mobili $x,y,z$ e $u_o,v_o,w_o$ le componenti di $\overrightarrow{v_o}$ in definitiva avremo

$\ddot{x}=\dot{u_o}-(q^2+r^2)x+(qy+rz)p+(\dot{q}z-\dot{r}y)$

$\ddot{y}=\dot{v_o}-(p^2+r^2)y+(px+rz)q+(\dot{r}x-\dot{p}z)$

$\ddot{z}=\dot{w_o}-(p^2+q^2)z+(px+qy)r+(\dot{p}y-\dot{q}x)$

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi

...

Velocità

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili $x_m$ $y_m$ $z_m$ sono date proiettando la formula fondamentale:

$\overrightarrow{v_p}=\overrightarrow{v_o}\wedge (\overrightarrow{OP)}$

sugli assi $x,y,z$.

Chiamando con $u_o,v_o,w_o$ le componenti della velocità assoluta di $O$ (traslazione) in tre assi $x,y,z$ (mobili), e con $p,q,r$ le componenti del vettore velocità angolare $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ in tre assi mobili otteniamo:

$\dot{x}=u=u_o+(qz-ry)$
$\dot{y}=v=v_o+(rx-pz)$
$\dot{z}=w=w_o+(py-qz)$

I valori $u_o,v_o,w_o,p,q,r,$ si chiamano i sei parametri del moto rigido.