Meccanica razionale/Dinamica/Sistemi di punti

equazioni del moto per un sistema di punti e teorema del baricentro

Se consideriamo un sistema S di punti materiali, e sia $m_i$ la massa e $\overrightarrow{v_i}$ la velocità del generico punto $m_i$, l'equazione del moto per questo punto può esere scritta:

(6)

$\frac{d}{dt}(m_i\overrightarrow{v_i})=\overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{F_i}$

Essendo $\overrightarrow{F_e}$ la forza esterna applicata a questo punto mentre $\overrightarrow{F_i}$ è il risultante di tutte le azioni che i punti circostanti esercitano sul punto considerato. Se scriviamo la precedente equazione per tutti i vari punti avremo n equazioni vettoriali che sommate si riducono alla unica

(7)

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\overrightarrow{v_i})=\sum \overrightarrow{F_e}+\sum \overrightarrow{F_i}$

Questa equazione proiettata in tre assi dà le seguenti tre equazioni scalari:

(8)

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\dot{x_i})=\sum X_i+\sum X_e$

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\dot{y_i})=\sum Y_i+\sum Y_e$

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\dot{Z_i})=\sum Z_i+\sum Z_e$

Ma il risultante delle forze interne per il principio di azione e reazione è un sistema nullo, cioè $\sum X_i=\sum y_i=\sum Z_i=0$, in quanto le forze interne a due a due costituiscono dei sistemi nulli.

Allora le equazioni (8) divengono:

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\dot{x_i})=\sum X_e$

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\dot{y_i})=\sum Y_e$

$\frac{d}{dt}(\sum m_i\dot{z_i})=\sum Z_e$

Ricordando la definizione di baricentro di un sistema di masse cioè come quel punto G tale che le sue coordinate sono date dalle seguenti espressioni:

$x_G=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$

$y_G=\frac{\sum m_i{y}_i}{\sum m_i}$

$z_G=\frac{\sum m_i{z}_i}{\sum m_i}$

e considerando $m_i=cost$

$(\sum _{}{m}_i)\dot{x_G}=\sum _{}{m}_i\dot{x_i}$

$(\sum _{}{m}_i)\dot{y_G}=\sum _{}{m}_i\dot{y_i}$

$(\sum _{}{m}_i)\dot{z_G}=\sum _{}{m}_i\dot{z_i}$

E tenendo conto che la massa totale del sistema è data da $M=\sum m_i$ si ottengono le tre seguenti equazioni

$\frac{d}{dt}(M\dot{x_G})=\sum _{}{X}_e$

$\frac{d}{dt}(M\dot{y_G})=\sum _{}{Y}_e$

$\frac{d}{dt}(M\dot{z_G})=\sum _{}{Z}_e$

da cui deriva il teorema fondamentale del baricentro. Cioè che il baricentro del sistema si muove come un punto materiale avente la massa totale $M$ del sistema e su cui agisce una forza eguale alla somma vettoriale delle forze agenti su tutti i vari punti di massa.

Concludendo possiamo dire che se $Q$ è la quantità di moto totale del sistema dato da

$\overrightarrow{Q}=\sum _{i=1}^n{m}_i{v}_i$

il teorema della quantità di moto si esprime dicendo che il derivato delle quantità di moto è uguale al risultante delle sole forze esterne applicate al sistema, cioè

$\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}=\overrightarrow{R_e}$

Momento delle quantità di moto

Consideriamo un punto 'C' ed un punto materiale $P_i$ a cui compete il vettore quantità di moto $m_i\overrightarrow{v_i}$. Il momento di $m_i\overrightarrow{v_i}$ è per definizione il vettore:

$\overrightarrow{H_i}=\overrightarrow{C{P}_i}\wedge m_i\overrightarrow{v_i}$

Il momento risultante rispetto a 'C' è dato da:

$\sum \overrightarrow{H_i}=\sum (\overrightarrow{C{P}_i}\wedge m_i\overrightarrow{v_i})$

eseguiamo il derivato:

$\frac{d}{dt}\sum \overrightarrow{H_i}=\sum _{}(\frac{d}{dt}\overrightarrow{C{P}_i}\wedge m_i\overrightarrow{v_i})+\sum (\overrightarrow{C{P}_i}\wedge \frac{d}{dt}{m}_i\overrightarrow{v_i})$

Tenendo conto della relazione:

$\overrightarrow{C{P}_i}=\overrightarrow{O{P}_i}-\overrightarrow{OC}$

e derivando si ottiene:

$\frac{d}{dt}\overrightarrow{O{P}_i}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O{P}_i}-\frac{d}{dt}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{v_i}-\overrightarrow{v_c}$

che sostituite nell'espressione del momento della quantità di moto dà:

$\frac{d}{dt}\sum \overrightarrow{H_i}=\sum (\overrightarrow{v_i}-\overrightarrow{v_c})\wedge m_i\overrightarrow{v_i}+\sum \overrightarrow{C{P}_i}\wedge \frac{d}{dt}(m_i\overrightarrow{v_i})$

ma osservando che:

$\sum (\overrightarrow{v_i}-\overrightarrow{v_c})=\sum v_i\wedge m_i\overrightarrow{v_i}-\sum \overrightarrow{v_c}\wedge m_i\overrightarrow{v_i}$

e che il termine vettoriale:

$\sum \overrightarrow{v_i}\wedge m_i\overrightarrow{v_i}=0$

e che per il teorema del baricentro:

$\sum m_i\overrightarrow{v_i}=M\overrightarrow{v_G}$

otteniamo in definitiva:

$\frac{d}{dt}\sum \overrightarrow{H_i}=\sum \overrightarrow{C{P}_i}\wedge \overrightarrow{F_e}-\overrightarrow{v_c}\wedge M\overrightarrow{v_G}$

E tenendo presente che $\sum \overrightarrow{C{P}_i}\wedge \overrightarrow{F_e}$ è il momento delle forze esterne rispetto a 'C', possiamo scrivere:

$\frac{d}{dt}\sum \overrightarrow{H_i}=\overrightarrow{M_e}-\overrightarrow{v_c}\wedge M\overrightarrow{v_G}$

È da notare che il termine $\overrightarrow{v_c}\wedge M\overrightarrow{v_G}$ è zero solo se 'C' è fermo o è il baricentro, allora solo in questo caso possiamo scrivere semplicemente:

$\frac{d}{dt}\sum \overrightarrow{H_i}=\overrightarrow{M_e}$

Concludendo che il vettore derivato del momento della quantità di moto è uguale al momento delle forze esterne rispetto al punto fisso o rispetto al baricentro.