Meccanica razionale/Richiami di calcolo vettoriale

Figura 1

Definizione di vettore

Un vettore è una grandezza definita dalle seguenti entità:

• modulo
• direzione
• verso

Consideriamo la figura 1: diremo che il modulo è rappresentato dalla distanza AB, la direzione è individuata dalla direzione della retta passante per A, B ed il verso è quello che va da A verso B.

Rappresentazione cartesiana

Scelta a piacere una terna cartesiana ortogonale (O, x, y, z) chiameremo componenti del vettore:

$\overrightarrow{v}(AB)$

lungo x, y, z le seguenti quantità:

$\left|\begin{array}{c}{v}_x=x_B-x_A\\ v_y=y_B-y_A\\ v_z=z_B-z_A\end{array}\right|$

Il modulo di questo vettore è dato dalla seguente quantità:

$|\overrightarrow{v}|=\overline{AB}=\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

L'orientamento del vettore, cioè direzione e verso, rimane completamente individuato dai coseni direttori:

$\alpha =\frac{v_x}{\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

$\beta =\frac{v_y}{\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

$\gamma =\frac{v_z}{\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

Vettori unitari

Chiamasi vettore unitario o versore, il vettore avente modulo $|\overrightarrow{v}|=1$, e poiché:

$v_x=|\overrightarrow{v}|\alpha v_y=|\overrightarrow{v}|\beta v_z=|\overrightarrow{v}|\gamma$

si vede che le componenti del vettore unitario sono i coseni direttori stessi.

Definiamo come i tre vettori unitari fondamentali, i tre vettori unitari che hanno l'orientamento dei tre assi cartesiani $x,y,z$ e li individuiamo rispettivamente in $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}.$

Operazioni sui vettori

Somma

Dati $n$ vettori e scelto ad arbitrio il punto $O$ costruiamo la poligonale (in generale, sghemba), $O{E}_1{E}_2....E_n$ con la condizione che $E_1$ sia l'estremo del vettore ${\overrightarrow{v}}_1$ applicato in $O$, $E_2$ l'estremo del vettore ${\overrightarrow{v}}_2$ applicato in $E_1$, allora chiameremo risultato o somma dei ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2...{\overrightarrow{v}}_n$ il vettore $\overrightarrow{O{E}_n}\equiv \overrightarrow{R}$

Nella rappresentazione cartesiana si ottiene:

$R_x=\sum v_x$

$R_y=\sum v_y$

$R_z=\sum v_z$

Prodotto scalare

Si definisce come prodotto scalare fra due vettori $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ la quantità scalare:

$|\overrightarrow{v}|\times |\overrightarrow{w}|\cos (\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$

Nella rappresentazione cartesiana $\overrightarrow{v}(v_x,v_y,v_z)$ e $\overrightarrow{w}(w_x,w_y,w_z):$

$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=v_x{w}_x+v_y{w}_y+v_z{w}_z$

e ricordando che i coseni direttori sono:

${\alpha }_1=\frac{v_x}{\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}{\alpha }_2=\frac{w_x}{\sqrt[2]{w_x^2+w_y^2+w{z}^2}}$

${\beta }_1=\frac{v_y}{\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}{\beta }_2=\frac{w_y}{\sqrt[2]{w_x^2+w_y^2+w_z^2}}$

${\gamma }_1=\frac{v_z}{\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}{\gamma }_2=\frac{w_z}{\sqrt[2]{w_x^2+w_y^2+w_z^2}}$

per cui:

$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{w}|({\alpha }_1{\alpha }_2+{\beta }_1{\beta }_2+{\gamma }_1{\gamma }_2)$

Il polinomio ${\alpha }_1{\alpha }_2+{\beta }_1{\beta }_2+{\gamma }_1{\gamma }_2$ è, il coseno dell'angolo fra le direzioni di $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$; da questo è quindi facile vedere che se $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{w}$ il prodotto scalare $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=0$ in quanto ${\alpha }_1{\alpha }_2+{\beta }_1{\beta }_2+{\gamma }_1{\gamma }_2=0$

Prodotto vettoriale

Per quanto abbiamo detto precedentemente se $v_x,v_y,v_z$ sono le componenti di $\overrightarrow{v}$, e $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ sono i vettori fondamentali unitari, possiamo scrivere:

$\overrightarrow{v}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}+v_k\overrightarrow{k}$

Premesso ciò, si definisce prodotto vettoriale o vettore, fra due vettori $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$, il vettore definito nella seguente maniera:

$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{w}|\sin (\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\cdot \overrightarrow{n}$

Il versore $\overrightarrow{n}$ determina la direzione del prodotto vettoriale, normale al piano formato da $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$.

Prodotto misto e prodotto vettoriale doppio

Si definisce prodotto misto dati tre vettori $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{d})$

che è una quantità scalare. Il prodotto misto si annulla se $\overrightarrow{a}$ è parallelo a $\overrightarrow{b}$ o a $\overrightarrow{d}.$

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{d})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ d_x& d_y& d_z\end{array}\right|$

Valgono le seguenti proprietà commutatrici:

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{d})=\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{d}\wedge \overrightarrow{a})=\overrightarrow{d}\times (\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b})$

Si definisce il prodotto vettoriale doppio il vettore:

$\overrightarrow{a}\wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{d})=(\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{d}$

Infatti $\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$ sono numeri che moltiplicati rispettivamente per i vettori $\overrightarrow{b}$ e$\overrightarrow{d}$ danno dei vettori.

In coordinate cartesiane si può scrivere sinteticamente:

$\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ \left|\begin{array}{cc}{b}_y& b_z\\ d_y& d_z\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{b}_z& b_x\\ d_z& d_x\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}{b}_x& b_y\\ d_x& d_y\end{array}\right|\end{array}\right|$

Prodotto vettore dei vettori unitari fondamentali

Si ottengono le seguenti formule:

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}\\ \overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\\ \overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}\end{array}$

Vettori applicati

Si chiama vettore applicato, un qualsiasi vettore $\overrightarrow{v}$ applicato in un determinato punto $A$ dello spazio.

-Chiamasi coppia l'insieme di due vettori aventi modulo uguale e rette di applicazione parallele a versi opposti. La distanza $d$ fra le due rette è chiamata braccio della coppia.

b)

Momento di un vettore rispetto ad un punto.

Il momento di un vettore applicato rispetto ad un punto è il vettore definito nella seguente maniera. Se $B$ è il punto rispetto al quale si vuole calcolare il momento, dicesi momento di $(A,\overrightarrow{v})$ rispetto a $B$ il vettore che ha per modulo:

$|m_b|=AB\times |\overrightarrow{v}|sin\theta$

e direzione normale al piano $\overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{v}$.

Il verso è definito quello di un osservatore che giacente lungo la normale al piano di $\overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{v}$ vede $\overrightarrow{BA}$ andare verso $\overrightarrow{v}$ con senso indicato dalla regola della mano destra.

Differenziazione ed integrazione di vettori

Differenziazione

Una funzione vettoriale di una o più variabili scalari è generalmente chiamata campo vettoriale. La derivata di una funzione vettoriale $\overrightarrow{F}$ di una sola variabile $t$ è definita da:

$\frac{d\overrightarrow{F}(t)}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{F}(t+\mathrm{\Delta }t)-\overrightarrow{F}(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\lim \frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}(t)}{dt}$.

Ora durante l'incremento $\mathrm{\Delta }(t)$ il vettore $\overrightarrow{F}$ può cambiare semplicemente in direzione, restando il suo modulo inalterato. Ed allora avremo:

$\overrightarrow{F}\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}\times d\overrightarrow{F}=0.$

Ovvero può variare il modulo, rimanendo la direzione inalterata. E questo può essere espresso sinteticamente da:

$\overrightarrow{F}\wedge d\overrightarrow{F}=0$

Regole di differenziazione

$d(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})=d\overrightarrow{A}+d\overrightarrow{B}$

$d(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})=\overrightarrow{A}\times d\overrightarrow{B}+\overrightarrow{B}\times d\overrightarrow{A}$

$d(\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B})=d\overrightarrow{A}\wedge \overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\wedge d\overrightarrow{B}=\overrightarrow{A}\wedge d\overrightarrow{B}-\overrightarrow{B}\wedge d\overrightarrow{A}$

Operatori differenziali

Vogliamo ricordare brevemente i principali operatori differenziali che si usano nei vari campi della Meccanica.
Si definisce l'operatore differenziale $\mathrm{\nabla }$ il vettore:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\overrightarrow{i}\frac{\partial }{\partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial }{\partial y}+\overrightarrow{k}\frac{\partial }{\partial z}$

mentre l'operatore differenziale "Laplaciano" definito da:

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

è uno scalare.

Se $V(P)$ e una funzione scalare dei punti dello spazio $V(x,y,z)$ si chiama gradiente di $V$ o $grad$ $V$ il vettore:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V=\overrightarrow{i}\frac{\partial V}{\partial x}+\overrightarrow{j}\frac{\partial V}{\partial y}+\overrightarrow{k}\frac{\partial V}{\partial z}$

Se $\overrightarrow{A}$ è una funzione vettoriale con componenti $A_x,A_y,A_z$ si chiama divergenza di $\overrightarrow{A}$ la quantità scalare:

$div\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

Sempre nel caso che $\overrightarrow{A}$ sia una funzione vettoriale di componenti $A_x,A_y,A_z$ si chiama rotore di $\overrightarrow{A}$ il vettore definito da:

$rot\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{A}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ A_x& A_y& A_z\end{array}\right|=$

$\overrightarrow{i}(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})+\overrightarrow{j}(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})+\overrightarrow{k}(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})$

N.B. Notare la differenza tra operatori vettoriali (aventi le componenti moltiplicate dai versori) e gli operatori scalari (privi di un versore associato)