Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Dinamica

--teorema del derivato della quantità di moto

L'equazione della quantità di moto si scrive dicendo:

\frac{d \vec{Q}}{d t} = \vec{R_{e}}

essendo:

\vec{Q} = \sum_{i} m_{i} \vec{v_{i}} = \vec{v_{G}} \sum_{i} m_{i}

Ora consideriamo un sistema rigido e prendiamo una terna solidale al corpo come terna di riferimento. Questa terna durante il moto rigido traslerà e ruotera per cui l'equazione:

\frac{d \vec{Q}}{d t} = \vec{R_{} e}

essendo riferita ad assi fissi dovrà essere opportuanmente cambiata.

La velocità del baricentro, se $x_{G}, y_{G}, z_{G}$ ne sono le coordinate, è data da:

\vec{v_{G}} = \vec{v_{o}} + \vec{Ω} \land \to O G

per cui la quantità di moto totale del sistema è data da:

\vec{Q} = \vec{v_{G}} \int_{V} d m = \int_{V} (\vec{v_{o}} + \vec{Ω} \land \vec{O G}) d m

Ora se la terna di riferimento è una terna centrale $\vec{O G} = 0$ per cui:

\vec{Q} = \vec{v_{G}} \int_{V} d m = \int_{V} \vec{v_{o}} d m

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti di $\vec{v_{G}}$ sui tre assi mobili avremo:

\vec{Q} = M (u \vec{i} + v \vec{j} + w \vec{k})

.

Eseguendo il derivato di $\vec{Q}$ rispetto al tempo e considerando che gli assi di riferimento sono mobili:

\frac{d \vec{Q}}{d t} = M (\frac{d u}{d t} \vec{i} + \frac{d v}{d t} \vec{j} + \frac{d w}{d t} \vec{k} + u \frac{d \vec{i}}{d t} + v \frac{d \vec{j}}{d t} + w \frac{d \vec{k}}{d t})

Da cui derivano le tre equazioni scalari che rappresentano l'equazioni della quantità di moto sui tre assi mobili solidali al corpo $x, y, x$ :

M (\frac{d u}{d t} + q w - r v) = R_{x}

M (\frac{d v}{d t} + r u - p w) = R_{y}

M (\frac{d w}{d t} + p v - q u) = R_{z}

--teorema del momento della quantità di moto

La seconda equazione cardinale della dinamica è data da:

\frac{d \vec{K}}{d t} = \vec{M_{e}}

sempre che il punto di riduzione dei momenti sia un punto fisso o il baricentro.

Nel caso di un corpo rigido assumiamo senz'altro che la terna solidale col corpo abbia origine nel baricentro (Terna Centrale). In questo caso $x_{G}, y_{G}, z_{G}$ sono nulli.

Allora la velocità di un punto 'P' del sistema è data:

\vec{v} = \vec{v_{G}} + \vec{Ω} \land \vec{P G}

a cui compete una quantità di moto elementare:

d \vec{Q} = d m (\vec{v_{G}} + \vec{Ω} \land \vec{P G})

ed un momento della quantità di moto elementare rispetto al baricentro:

d \vec{K} = \vec{P G} \land d m (\vec{v_{G}} + \vec{Ω} \land \vec{P G}) .

Il momento della quantità di moto totale è dato ovviamente da:

\vec{K} = \int_{V} \vec{P G} \land \vec{v_{G}} d m + \int_{V} \vec{P G} \land (\vec{Ω} \land \vec{P G}) d m .

Il termine $\int_{V} \vec{P G} \land \vec{v_{G}} d m$ è zero in quanto la quantità di moto totale è un vettore che passa per il baricentro, per cui:

\vec{K} = \int_{V} \vec{P G} \land (Ω \land \vec{P G}) d m .

Se $x, y, z$ sono le coordinate di $P$ e $p, q, r$ le componenti di $\vec{Ω}$ :

\vec{Ω} \land \vec{P G} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & q & r \\ x & y & z \end{matrix} | = (q z - r y) \vec{i} + (r x - p z) \vec{j} + (p y - q x) \vec{k}

ed ancora:

\vec{P G} \land (\vec{Ω} \land \vec{P G}) = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ (q z - r y) & (r x - p z) & (p y - q z) \end{matrix} | =

[y (p y - q x) - z (r x - p z)] \vec{i} + [z (q z - r y) - x (p y - q x)] \vec{j} + [x (r x - p z) - y (q z - r y)] \vec{k} .

Per cui possiamo scrivere che:

K_{x} = p \int_{V} ρ (x^{2} + z^{2}) d v - r \int_{V} x z ρ d v - q \int_{V} x y ρ d v

K_{y} = q \int_{V} ρ (z^{2} + x^{2}) d v - r \int_{V} y z ρ d v - p \int_{V} x y ρ d v

K_{z} = r \int_{V} ρ (x^{2} + y^{2}) d v - p \int_{V} x z ρ d v - q \int_{V} z y ρ d v

Ora se la terna di riferimento è una terna principale di inerzia tutti gli integrali del tipo $\int_{V} x z d m$ sono nulli quindi il momento della quantità di moto rispetto agli assi mobili è dato da:

\vec{K} = A p \vec{i} + B q \vec{j} + C r \vec{k}

Applicando ora l'equazione del momento della quantità di moto e tenendo conto che gli assi sono mobili otteniamo:

\frac{d \vec{K}}{d t} = A \dot{p} \vec{i} + B \dot{q} \vec{j} + C \dot{r} \vec{k} + Ω \land (A p \vec{i} + B q \vec{j} + C r \vec{k}) = \vec{M_{e}}

E quindi le tre equazioni scalari:

A \frac{d p}{d t} + (C - B) r q = \vec{M_{x}}

B \frac{d q}{d t} + (A - C) p r = \vec{M_{y}}

C \frac{d r}{d t} + (B - A) p q = \vec{M_{z}}

Concludendo possiamo dire che un motorigido rimane individuato dalla conoscenza dei suoi sei parametri $u, v, w, p, q,$ che corrispondono a sei gradi di libertà del corpo. Per cui note le cause esterne che producono il moto $\vec{R_{e}}$ e $\vec{M_{e}}$ che potranno essere in generale funzioni di $u, v, w, p, q, r$ e delle coordinate, è possibile attraverso l'integrazione delle equazioni differenziali scritte e con le opportune condizioni ai limitiindividuare completamente il mptp rigido.

È facile vedere che se il corpo deve stare in equilibrio $u = v = w = p = q = r = 0$ le equazioni precedenti si riducono ad:

$R_{x} = 0$	$M_{x} = 0$
$R_{y} = 0$	$M_{y} = 0$
$R_{z} = 0$	$M_{z} = 0$

Le quali rappresentano come abbiamo già visto le equazioni fondamentali della statica. Inoltre si intende precisare che tali equazioni sono sufficienti a determinare il moto di un corpo solo nel caso esso sia rigido.

--lavoro di una forza in uno spostamento rigido

Uno spostamento rigido è individuato come abbiamo detto da sei parametri. Infatti lo spostamento di un punto 'P' è dato da:

\vec{d s} = \vec{v} d t = (\vec{v_{o}} + \vec{Ω} \land \vec{O P}) d t

Se $\vec{F_{e}}$ è la forza esterna applicata sul punto 'P', questa compie un lavoro:

d L = \vec{F_{e}} \times \vec{d s} = (\vec{F_{e}} \times \vec{v_{o}}) d t + (\vec{F_{e}} \times Ω \land \vec{O P}) d t

Ricordando che:

\vec{F_{e}} \times \vec{Ω} \land \vec{O P} = \vec{Ω} \times \vec{O P} \land \vec{F_{e}}

il lavoro elementare si può esprimere in definitiva come:

d L_{e} = \vec{F_{e}} \times \vec{d s} = [\vec{F_{e}} \times \vec{v_{o}} + \vec{Ω} \times \vec{O P} \land \vec{F_{e}}] d t = \vec{F_{e}} \times \vec{v_{o}} + \vec{Ω d t} \times \vec{O P} \land \vec{F_{e}}

Se sul corpo agisce un sistema di forze:

\sum d L_{e} = \sum \vec{F_{e}} \times \vec{v_{o}} d t + \vec{Ω} d t \times \vec{O P} \land \sum \vec{F_{e}}

L_{e} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum d L_{e} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R_{e}} \times \vec{v_{o}} d t + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{M_{e}} \times \vec{Ω} d t

La potenza, cioè il lavoro nella unità di tempo, risulta:

$\frac{d L_{e}}{d s} = \vec{R_{e}} \times \vec{v_{o}} + \vec{Ω} \times \vec{M_{e}}$

Se chiamiamo inoltre con:

$d x_{G} = u d t$	$d φ = p d t$
$d y_{G} = v d t$	$d ψ = q d t$
$d z_{G} = w d t$	$d θ = r d t$

avremo per il lavoro, in definitiva, la seguente espressione

L = \int (R_{x} d x_{G} + R_{y} d y_{G} + R_{z} d z_{G}) + \int (M_{x} d φ + M_{y} d ψ + M_{z} d θ)

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti della velocità del baricentro, per la potenza si ottengono in definitiva le seguenti forme:

W = (R_{x} u + R_{y} v + R_{z} w) + (M_{x} p + M_{y} q + M_{z} r)

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