Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Energia cinetica

Energia cinetica di un corpo rigido

Se abbiamo un corpo rigido la velocità di ogni suo singolo punto è data, rispetto ad una terna di riferimento generico solidale con il corpo, dalla nota formula(6)

\vec{v_{p}} = \vec{v_{o}} + \vec{Ω} \land \vec{O P}

Se prendiamo la terna di riferimento con origine nel baricentro (terna centrale) 'G', abbiamo:

\vec{v_{p}} = \vec{v_{G}} + \vec{Ω} \land \vec{G P}

L'energia cinetica che compete quindi alla massa 'dm' con centro nel punto 'P' è data secondo la definizione da:

d T = \frac{d m}{2} (\vec{v_{G}} + \vec{Ω} \land \vec{G P})^{2}

Ora possiamo anche scrivere:

$\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}} = \vec{Ω} \land \vec{G P}$

cioè

d T = \frac{d m}{2} [\vec{v_{G}} + (\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}})]^{2} = \frac{d m}{2} [{\vec{v_{G}}}^{2} + (\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}})^{2} + 2 \vec{v_{G}} \times (\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}})]

ed ancora

d T = \frac{d m}{2} v_{G}^{2} + \frac{d m}{2} (\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}})^{2} - \vec{v_{G}} \times (\vec{v_{p}} d m - \vec{v_{G}} d m)

ed integrando

T = \frac{v_{G}^{2}}{2} \int_{V}^{.} d m + \frac{1}{2} \int_{V}^{.} (\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}})^{2} - \vec{v_{G}} \times (\int_{V}^{.} \vec{v_{p}} d m - \vec{v_{G}} \int_{V}^{.} d m)

avremo quindi in definitiva:

T = \frac{1}{2} M {v_{G}}^{2} + \frac{1}{2} \int_{V}^{.} (\vec{Ω} \land \vec{G P})^{2} d m

in quanto per definizione di quantità di moto totale di un sistema

\int_{V}^{.} \vec{v_{p}} d m - \int_{V}^{.} \vec{v_{G}} d m = M \vec{v_{G}} - M \vec{v_{G}} = 0

Considerando che :

\vec{Ω} \land \vec{G P} = (q z - r y) \vec{i} + (r x - p z) \vec{j} + (p y - q x) \vec{k}

abbiamo di conseguenza:

(\vec{Ω} \land \vec{G P})^{2} = (\vec{v_{p}} - \vec{v_{G}})^{2} = (q z - r y)^{2} + (r x - p z)^{2} + (p y - q x)^{2} =

(z^{2} + x^{2}) q^{2} + (z^{2} + y^{2}) p^{2} + (x^{2} + y^{2}) r^{2} - 2 q r z y - 2 r p x z - 2 p q x y

.

E quindi eseguendo l'integrale abbiamo:

\frac{1}{2} [q^{2} \int_{V}^{.} (z^{2} + x^{2}) ρ d v + p^{2} \int_{V}^{.} (z^{2} + y^{2}) ρ d v + r^{2} \int_{V}^{.} (x^{2} + y^{2}) ρ d v -

2 q r \int_{V}^{.} z y ρ d v - 2 r p \int_{v}^{.} x z d v - 2 p q \int_{V}^{.} x y d v] =

\frac{1}{2} (A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} - 2 q r A_{1} - 2 r p B_{1} - 2 p q C_{1})

.

Se la terna di riferimento è principale di inerzia $A_{1} = B_{1} = C_{1} = 0$ l'energia cinetica totale del corpo rigido è data da:

$T = \frac{1}{2} (A p^{2} + B q^{2} + C r^{2}) + \frac{1}{2} M {v_{G}}^{2}$

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Energia cinetica di un corpo rigido

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