Misura e integrale di Lebesgue/Elementi fondamentali, misura di Lebesgue

Prima di poter parlare di integrale, misure e lavorare con questi strumenti, abbiamo bisogno di costruire una teoria della misura che possa essere ritenuta tale. In questo modulo daremo tante definizioni e inizieremo a parlare di misure di insiemi, discutendo ogni punto per renderlo il più chiaro possibile. Iniziamo da una definizione che non è una definizione (attenzione a questo punto, non è davvero una definizione).

Il termine $\mathrm{\infty }$ ha delle belle proprietà; la prima è che questo è maggiore di ogni altro numero reale scrivibile in altra forma diversa da $\mathrm{\infty }$. Le operazioni con l'infinito sono le seguenti:

• $a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$
• $\mathrm{\infty }-b=\mathrm{\infty }$
• $-a\cdot \mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$
• $\frac{\mathrm{\infty }}{a}=\mathrm{\infty }$
• $\frac{a}{\mathrm{\infty }}=0$
• $\frac{\mathrm{\infty }}{-b}=-\mathrm{\infty }$
• $0\cdot \mathrm{\infty }=0$

Poniamo attenzione all'ultima espressione. $0\cdot \mathrm{\infty }=0$ resta non vero quando si parla di cose che tendono 0 o $\mathrm{\infty }$, ovvero nelle espressioni di limite è ancora una forma indeterminata. Questa espressione è quindi vera quando i valori 0 e $\mathrm{\infty }$ sono fissati e valgono esattamente quello che valgono, non tendono a quel valore.

Già con la prima definizione abbia fatto terra bruciata dietro di noi: non dobbiamo dimenticare tutto ciò che abbiamo imparato finora, ma qualcosa deve pur cambiare. Questo non rientrava tra gli elementi utili alla misura, o meglio, non subito; iniziamo con gli iperrettangoli.

Un iperrettangolo non è altro che la moltiplicazione di intervalli; in dimensione uno, ovvero in $ℝ$, questo è semplicemente un intervallo; in ${ℝ}^2$ sarà un rettangolo, in ${ℝ}^3$ un parallelepipedo e così via. La misura dell'intervallo $[a_1,b_i]$è ovviamente $|b_i-a_i|$.

Su questo non c'è da discutere molto: presi tanti iperrettangoli, la loro unione è chiamata plurirettangolo. Poiché la misura di un rettangolo la conosciamo (base per altezza), possiamo definire la misura dell'iperrettangolo.

Così come il rettangolo e il parallelepipedo si misurano moltiplicando le dimensioni, nel caso generale di un iperrettangolo la regola non varia. Siamo adesso pronti per iniziare a definire quelli che, secondo la teoria di Lebesgue, sono insiemi misurabili. Da adesso in poi, tranne dove specificato, per misura intenderemo sempre misura secondo Lebesgue.

Questo ci inizia a dire qualcosa di importante: tutti gli insiemi aperti e compatti sono misurabili secondo Lebesgue, e la loro misura si approssima con quella del plurirettangolo contenuto nell'aperto o che contiene il compatto. Notiamo come la misura di un aperto può essere $m(A)=+\mathrm{\infty }$, mentre quella di un compatto può essere $m(K)=0$. Ora definiamo la misura interna ed esterna di un insieme, a partire proprio da questo.

Osserviamo immediatamente che $\mathrm{\forall }E\subseteq {ℝ}^n$ vale $\underset{\_}{m}(E)\le \bar{m}(E)$. Ora, detto questo, possiamo finalmente parlare di insiemi misurabili. Date le misure interna ed esterna di un insieme, è logico pensare che, quando queste coincidono, abbiamo a che fare esattamente con la misura di quell'insieme, più o meno come l'area delle partizioni inferiori e superiori per Riemann.

A volte, indicheremo con $m_n(E)$ la misura n-dimensionale di Lebesgue.

A proposito di insiemi misurabili, resta comodo sapere come e quando riconoscere un insieme misurabile da uno non misurabile. Il seguente teorema ci assicura la "misurabilità" di un insieme; non ne forniremo una dimostrazione.

Teorema

Un insieme $E\subseteq {ℝ}^n$ è misurabile se e solo se per ogni $\epsilon >0$ esistono $A_{\epsilon },K_{\epsilon }$ aperto e compatto tali che:

$|m(A_{\epsilon })-m(K_{\epsilon })|<\epsilon$

Ovvero un insieme sarà misurabile se esisteranno un aperto e un compatto tali che la differenza tra le loro misure è arbitrariamente piccola, ovvero coincide. Abbiamo appena dato una rigorosa definizione di misura, ora non resta che vederne le proprietà.