Misura e integrale di Lebesgue/Integrale di Lebesgue e proprietà

Inoltre, se $\sup \underset{E}{\int }s(x)dx<+\mathrm{\infty }$ si dice che $f(x)$ è sommabile.

In sintesi, la definizione rappresenta l'intuizione già spiegata nel modulo precedente: mentre Riemann approssimava dal basso e dall'alto l'area con dei rettangoli, andando poi al limite, Lebesgue approssima senza passare al limite l'area con l'area della funzione semplice più simile a quella. La mancanza del limite è un grandissimo passo avanti.

Come già detto, le funzioni integrabili secondo Lebesgue sono tantissime, e sforano lo spazio delle funzioni continue. Tuttavia, le funzioni sommabili, ovvero quelle di integrale limitato, sono un po' meno: ad esempio, $f(x)=\frac{1}{x}$ è continua in $(0,1)$, è integrabile, vale $x$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}=+\mathrm{\infty }$ e quindi non è sommabile. Parleremo dello spazio delle funzioni sommabile nel prossimo modulo.

In questo ci soffermeremo a parlare delle proprietà dell'integrale di Lebesgue. Nella sua dissertazione, Lebesgue espose la sua teoria della misura, presentando l'integrale ed elencando le sei proprietà che questo rispetta. Sono le seguenti:

1. se $0\le f(x)\le g(x)$, allora $\underset{e}{\int }f(x)dx\le \underset{E}{\int }g(x)dx$;
2. se $A\subseteq E$, allora $\underset{A}{\int }f(x)dx\le \underset{E}{\int }f(x)dx$, con $f(x)\ge 0$;
3. linearità: $\underset{E}{\int }[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \underset{E}{\int }f(x)dx+\beta \underset{E}{\int }g(x)dx$;
4. se $f(x)=0\mathrm{\forall }x\in E$, allora $\underset{E}{\int }f(x)dx=0$, anche se $m(E)=+\mathrm{\infty }$;
5. se $m(E)=0$, allora $\underset{e}{\int }f(x)dx=0$, anche se $f(x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }x\in E$;
6. se $\mathrm{\Omega }\subseteq E$, si ha $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)dx=\underset{E}{\int }f(x){\chi }_{\mathrm{\Omega }}(x)dx$.

Le proprietà 4, 5 rispecchiano il fatto che $0\cdot \mathrm{\infty }=0$; inoltre, la 5 ci indica che la misura di una retta è 0. Quindi, se prendiamo la funzione costante $f(x)=1$ nell'intervallo $[0,1]$, e mandiamo un insieme numerabile di punti all'infinito, l'integrale resterà sempre 1.