Onde meccaniche elastiche/Formulario

Onde meccaniche

Funzione generale di un'onda meccanica:

$\alpha (x,t)$

Equazione differenziali alle coordinate parziali che ogni funzione d'onda soddisfa:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$

Onde sinusoidali

Funzione generale di un'onda sinusoidale:

$\alpha (x,t)=A\sin [\frac{2\pi }{\lambda }(x\mp vt)]$

Lunghezza d'onda: $\lambda =vT$

Altri modi per scrivere le onde sinusoidali:

$\alpha (x,t)=A\sin (\omega t+\phi )$

$\alpha (x,t)=A\sin (kx\mp \omega t+\phi )$

Con numero d'onda $K=\frac{2\pi }{\lambda }$, pulsazione $\omega =\frac{2\pi v}{\lambda }=\frac{2\pi }{T}$

Principio di sovrapposizione

La risultante di più onde che si propagano nello stesso mezzo è:

$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+\cdots$

Onde longitudinali

Equazione differenziale delle onde longitudinali:

$\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial x^2}=\frac{\rho }{E}\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}$

Con $v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$

In un mezzo omogeneo che riempie uniformemente lo spazio (aria o gas):

$\frac{dV}{V}=-\frac{1}{k}dP$

Con velocità: $v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho }}$, oppure, in funzione dei parametri del gas: $v=\sqrt{\gamma \frac{RT}{M}}$

Onde trasversali

Equazione differenziale delle onde trasversali:

$\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial x^2}=\frac{\mu }{\tau }\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}$

Con velocità: $v=\sqrt{\frac{\tau }{\mu }}$

Intensità e energia

L'intensità definita come:

$I=\frac{dE}{dSdt}$

Esprimibile in funzione dei parametri dell'onda

$I=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$

Intensità di riferimento per la scala in decibel $I_0=10^{-12}\frac{\text{W}}{{\text{m}}^2}$; intensità in decibel:

$I_{db}=10\cdot {\log }_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$

Proporzionalità tra ampiezza dell'onda e distanza: $A\propto \frac{1}{r}$

Interferenza

Risultante di due onde che si propagano nello stesso mezzo con stesso lunghezza d'onda, stessa pulsazione e stessa ampiezza:

$\alpha (x,t)=2A\cos \frac{\delta }{2}\sin (kx-\omega t-\frac{\delta }{2})$

Intensità dell'onda risultante:

$I=\frac{1}{2}\rho {\omega }^{2}v4A^2{\cos }^2\frac{\delta }{2}=4I{\cos }^2\frac{\delta }{2}$

Battimenti

Risultante di un battimento:

$\alpha (x,t)=2A\cos [\left(\frac{k_1-k_2}{2}\right)x-\left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}\right)t]\sin (kx-\omega t)=B(x,t)\sin (kx-\omega t)$

Onde stazionarie

Espressione generale di un'onda stazionaria:

$\alpha (x,t)=2A\cos \omega t\sin kx$

Posizione dei nodi: $x_N=n\frac{\lambda }{2}$ e dei ventri: $x_V=n\frac{\lambda }{2}+\frac{\lambda }{4}$

Frequenza del suono generato da una corda vibrante:

$\nu =\frac{1}{\lambda }\sqrt{\frac{\tau }{\mu }}$