Onde meccaniche elastiche/Onde sinusoidali

Un caso interessante da studiare sono quei tipi di onde descritte da una funzione sinusoidale:

$\alpha (x,t)=A\sin \left[\frac{2\pi }{\lambda }(x\mp vt)\right]$

In questa funzione $A$ indica l'ampiezza d'onda, ovvero i valori massimi assunti dalla funzione; possiamo notare come questo parametro sia indipendente sia da $x$ che da $t$, e quindi parliamo di una onda non smorzata. Il parametro $\lambda$ si chiama lunghezza d'onda e determina il periodo spaziale dell'onda, ovvero la distanza tra due massimi consecutivi. Oltre al periodo spaziale, le onde posseggono anche un periodo temporale dato da $T=\frac{\lambda }{v}$; possiamo dimostrare come, dopo ogni periodo, l'onda si ripeta:

$\frac{2\pi }{\lambda }[x\mp v(t+nT)]=\frac{2\pi }{\lambda }[x\mp v(t+n\frac{\lambda }{v})]=\frac{2\pi }{\lambda }[x\mp vt+n\lambda ]=\frac{2\pi }{\lambda }(x\mp vt)+2\pi n$

Vale quindi la relazione $\lambda =vT$. Un altro modo di scrivere la funzione di un'onda sinusoidale è:

$\alpha (x,t)=A\sin (\omega t+\phi )$

In cui $\omega$ è detta pulsazione e vale:

$\omega =\frac{2\pi v}{\lambda }=\frac{2\pi }{T}$

Mentre $\phi$ vale $\phi =\frac{2\pi }{\lambda }\overline{x}+j\pi$, nei casi:

$\begin{array}{cc}& j=0\text{se }(x-vt)\\ & j=1\text{se }(x+vt)\end{array}$

A volte, però, risulta più comodo scrivere la funzione nel seguente modo:

$\alpha (x,t)=A\sin (kx\mp \omega t+\phi )$

In questa espresso, $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ viene chiamato numero d'onda, mentre la pulsazione $\omega =\frac{2\pi v}{\lambda }=\frac{2\pi }{T}$. Il fattore $\phi$ viene chiamato fase e dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali del problema.

Un'onda del tipo $\alpha (x,t)=\frac{2\pi }{\lambda }(x\mp vt)$ è detta armonica. Questa, in teoria, dovrebbe continuare in un grafico all'infinito sia per il tempo che per lo spazio, ovvero $\mathrm{\infty }\le t\le +\mathrm{\infty }$ e $\mathrm{\infty }\le x\le +\mathrm{\infty }$; questo caso è quanto mai improbabile, e quindi si studia una porzione d'onda limitata, che viene chiamata treno d'onda sinusoidale. Una caratteristica delle onde armoniche è che questa seguono il principio di sovrapposizione e il teorema di Fourier.

Principio di sovrapposizione

Il principio di sovrapposizione afferma che se, in un mezzo elastico, si propagano più onde di funzione ${\alpha }_1,{\alpha }_2...$ l'onda risultante è descritta da:

$\alpha (x,t)={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots$

Ovvero le singole componenti si sommano solo se la perturbazione risultante non porta il mezzo a lavorare oltre il limite di elasticità. Possiamo dimostrare come la risultante soddisfi l'equazione differenziale delle onde; facciamo il caso di due contributi, valido come esempio generale:

$\begin{array}{cc}& \frac{{\partial }^2{\alpha }_1}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{\alpha }_1}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2{\alpha }_2}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2{\alpha }_2}{\partial t^2}\\ & \frac{{\partial }^2{\alpha }_1}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\alpha }_2}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^2{\alpha }_1}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^2{\alpha }_2}{\partial t^2})\\ & \frac{{\partial }^2({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{\partial t^2}\end{array}$

Nel secondo passaggio abbiamo sommato membro a membro. Così come la somma di due contributi è una funzione d'onda, lo stesso vale quando i contributi sono in numero maggiore, sempre rispettando il limite di elasticità del mezzo.

Teorema di Fourier

Un'onda periodica di periodo $T$ e lunghezza d'onda $\lambda$, quindi avente $\omega =\frac{2\pi }{T}$ e $k=\frac{2\pi }{\lambda }$, che sia di forma qualunque, e sia $\alpha (kx\mp \omega t)$ la sua funzione, sotto opportune ipotesi può essere scritta come:

$\begin{array}{cc}\alpha (kx\mp \omega t)=A_0+& A_1\cos (kx\mp \omega t)+B_1\sin (kx\mp \omega t)+\\ +& A_2\cos (2(kx\mp \omega t))+B_2\sin (2(kx\mp \omega t))+\cdots \end{array}$

I coefficienti $A_0,A_1,A_2...B_1,B_2...$ decrescono col crescere del numero d'onda $k$. La scrittura fornita dal teorema è anche chiamata serie di Fourier e lo studio di un'onda attraverso lo sviluppo di Fourier è detto analisi armonica. Non forniremo qui la dimostrazione del teorema.