Onde meccaniche elastiche/Onde trasversali

Nelle onde trasversali il moto delle particelle è ortogonale alla direzione di propagazione dell'onda. Immaginiamo una corda tesa sulla quale imprimiamo una perturbazione: essa inizierà a oscillare. La velocità di propagazione dell'onda, intuitivamente, aumenta all'aumentare della tensione del filo, che rappresenta la forza di richiamo elastica.

Consideriamo una corda omogenea, di tensione $\overrightarrow{\tau }$ e densità lineare $\mu =\frac{dm}{dx}$. La massa sarà quindi $dm=\mu dx$, scelto un asse orizzontale parallelo alla corda a riposo. Studiamo un tratto compreso tra $x$ e $x+dx$ sottoposto alla perturbazione, quindi dislocato di una quantità $y=\alpha (x,t)$ dalla posizione di riposo. La tensione del filo può essere schematizzata come $\overrightarrow{\tau }(x)$ e $\overrightarrow{\tau }(x+dx)$; in modulo le due tensioni sono uguali, ma cambiano direzione e verso:

$\overrightarrow{f}=m\overrightarrow{a}=>\tau \sin (\theta +d\theta )-\tau sin\theta =dma=\mu dx\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}$

Gli angoli che vengono a formarsi, però, sono sempre molto piccoli se la tensione è forte; quindi possiamo approssimare a:

$\begin{array}{cc}\tau (\theta +d\theta )-\tau \theta & =\mu \frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}dx\\ \tau d\theta & =\mu \frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}dx\end{array}$

L'angolo $\theta$ coincide con la pendenza della corda, ovvero $\theta \approx \tan \theta =\frac{\partial \alpha }{\partial x}$; per ottenere l'espressione di $d\theta$, deriviamo quella appena trovata rispetto al tempo:

$d\theta =\frac{\partial \theta }{\partial x}dx=\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial x^2}dx$

Lo sostituiamo nell'espressione trovata prima, ottenendo la funzione dell'onda:

$\begin{array}{cc}\tau \frac{{\partial }^2\alpha }{\partial x^2}dx& =\mu \frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}dx\\ \frac{{\partial }^2\alpha }{\partial x^2}& =\left(\frac{\mu }{\tau }\right)\frac{{\partial }^2\alpha }{\partial t^2}\end{array}$

Da cui ricaviamo che la velocità di propagazione dell'onda è $\sqrt{\frac{\tau }{\mu }}$ che, come nei casi precedenti, dipende ancora una volta solo dalle caratteristiche del mezzo.