Teoria dei segnali/Segnali nel tempo

Segnali nel tempo

Segnali a tempo continuo

Un segnale a tempo continuo (o segnale continuo) è una funzione che associa ad ogni istante $t\in ℝ$ un valore; $x(t):ℝ\to ℝ$ è un segnale analogico; un segnale a tempo continuo i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto segnale quantizzato; se il segnale è definito solo in un intervallo di tempo limitato, allora si suppone nullo al di fuori di questo intervallo

Proprietà elementari

Energia normalizzata del segnale

$E_{x(t)}=\int {|x(t)|}^{2}dt$

Potenza normalizzata del segnale

$P_{x(t)}=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{+T/2}{\int }}{|x(t)|}^{2}dt$

Un segnale a energia finita ha potenza nulla, un segnale a potenza finita ha energia infinita

Per normalizzato si intende che la potenza e l'energia sono riferite convenzionalmente ad una impedenza unitaria (che quindi non appare nelle formule)

Valor medio del segnale

$M_{x(t)}=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{+T/2}{\int }}|x(t)|dt$

Se un segnale ha durata limitata allora potenza, energia e valor medio sono valutati solo nell'intervallo di esistenza del segnale, invece che per tutti i valori reali del tempo (altrimenti avrebbero sempre valore nullo)

La durata di un segnale corrisponde all'intervallo di tempo in cui il segnale è definito,

l'ampiezza di un segnale corrisponde all'intervallo di valori che questo assume

Un segnale a tempo continuo è periodico se esiste un valore minimo $T_p$ tale che $x(t)=x(t+i{T}_p)$ per ogni $t$, $T_p$ è detto periodo ed il suo inverso $f_p=1/T_p$ è detta frequenza fondamentale; se questa proprietà non è soddisfatta un segnale si dice in generale aperiodico

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come

$P_{x(t+i{T}_p)}=\frac{1}{T_p}\underset{[T_p]}{\int }{|x(t)|}^{2}dt$

un segnale periodico (che non sia sempre nullo) ha energia infinita

Anche la valutazione del valore medio può essere semplificata

$M_{x(t+i{T}_p)}=\frac{1}{T_p}\underset{[T_p]}{\int }x(t)dt$

Segnali comuni

Diamo qui le espressioni analitiche di alcuni segnali a tempo continuo che si ritrovano comuneemente.

• Gradino unitario

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(t)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{per }t>0\\ 1/2,& \text{per }t=0\\ 0,& \text{per }t<0\end{array}$

• Segno

$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(t)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{per }t>0\\ 0& \text{per }t=0\\ -1& \text{per }t<0\end{array}$

• Costante

$x(t)=A$

• Esponenziale unilatero

$\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{t}{\tau }}& \text{per }t\ge 0\\ 0& \text{per }t<0\end{array}$

• Esponenziale bilatero

$e^{-\frac{\mid t\mid }{\tau }}$

• Esponenziale complesso

$e^{-j2\pi f_{0}t}$

• Cosinusoide di frequenza $f_p$ e fase $\theta$

$\cos (2\pi f_{p}t+\theta )$

• Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $\tau$

$\mathrm{\Pi }\left(\frac{t}{\tau }\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{per }\left|t\right|\le \frac{\tau }{2}\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

• Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata $2\tau$

$\mathrm{\Lambda }\left(\frac{t}{\tau }\right)=(1-\frac{\left|t\right|}{\tau })\mathrm{\Pi }\left(\frac{t}{2\tau }\right)=\{\begin{array}{cc}(1-\frac{\left|t\right|}{\tau })& \text{per }\left|t\right|\le \tau \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

Segnali a tempo discreto

Un segnale a tempo discreto (o segnale discreto) è definito solo per alcuni valori del tempo multipli di un intervallo di segnalazione $T_s$, il suo insieme di esistenza è quindi numerabile, $x(n{T}_s):\mathbb{Z}\to ℝ$

Si può sottintendere l'intervallo di segnalazione e trattare i segnali discreti come sequenze numeriche $x[n]$(ovvero come vettori numerici)

Un segnale a tempo discreto i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto segnale digitale

Proprietà fondamentali

Alcune proprietà dei segnali discreti differiscono nella loro definizione dalle corrispondenti proprietà dei segnali continui Energia normalizzata del segnale $E_{x[n]}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{x}^2[n]$

Potenza normalizzata del segnale $P_{x[n]}=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N-1}\sum _{n=-N}^{+N}{x}^2[n]$

Un segnale a tempo discreto è periodico" se esiste un valore minimo $N_p$ tale che $x[n]=x[n+i{N}_p]$ per ogni $n$, con $i$ numero intero.

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come $P_{x[n+i{N}_p]}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}^2[n]$

Segnali comuni

Se si restringe la definizione dei segnali a tempo continuo per $t=n{T}_s$, si ottengono i corrispondenti segnali a tempo discreto

• Gradino unitario a tempo discreto

$\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}(n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{per }n\ge 0\\ 0& \text{per }n<0\end{array}$

• Delta di Kroncker

$\delta (n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{per }n=0\\ 0& \text{per }n\ne 0\end{array}$

• Segno

$\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(n)=\{\begin{array}{cc}1& \text{per }n\ge 0\\ -1& \text{per }n<0\end{array}$

• Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $N$

$\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{n}{N}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{per }0\le n\le N-1\\ 0& \text{altrove}\end{array}$